Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 24 см, а її апофема – 20 см. Знайти висоту піраміди.

В треугольнике АВС  ВД биссектриса и ВД = 12, АВ = 14 , ВС = 35.

1.Проведем через точку Д прямую параллельную  АВ и точка Р  ВС. Получаем, что  треугольник ВРД равнобедренный (  ВДР =   ) и ВР = ДР.

2.  АВС подобен  ДРС ( по двум углам)  АВ / РД = 7/5  14/РД = 7/ 5 и РД=10 и

ВР = 10.

3. В  ВДР найдем  cos BDP по теореме косинусов, cos BDP = 0,6 ,

 значит sin BDP = sin ABD = 0, 8.

4.  Т. К.  ВД биссектриса ,то по свойству биссектрисы: АД / ДС = 14/ 35 = 2/5 и SABD / SBDC =2/5   SABD = 2/7 SABC .

SABD = ½ AB  BD sin ABD = 67,5, значит SABC = 7/2 SABD =  =235.2.  ответ : 235,2.

Формула Эйлера для многогранников.

Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер и Г — число граней. Тогда верно равенство В+Г=Р+2.

Октаэдр - многогранник с 8 гранями. (Грани- треугольники)У него 6 вершин и 12 ребер.

8+6=12+2.  Формула Эйлера верна.

Додекаэдр - многогранник, состоящий из граней- пятиугольников.Этих  граней 12.У него 30 ребер и 20 вершин.

20+12=30+2 Формула Эйлера верна.

Икосаэдр - многогранник, состоящий из 20 граней-треугольников.

У него также, как и у додекадра, 

30 ребер и 20 вершин.

20+12=30+2 Формула Эйлера верна.