Студент пытается пройти тестирование, используя метод «угадывания». тест содержит 8 вопросов, на которые следует отвечать «да» или «нет». найти вероятность того, что среди ответов студента правильных будет: 1) пять; 2) не менее пяти; 3) более пяти.
В данной задаче нам нужно найти вероятность, что среди ответов студента на 8 вопросов будет определенное количество правильных ответов. Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику и вероятность биномиального распределения.
1) Вероятность того, что студент правильно ответит на один вопрос, равна 0.5, так как он имеет два возможных варианта ответа ("да" или "нет"). Задача соответствует биномиальному распределению, где n = 8 (количество вопросов) и p = 0.5 (вероятность правильного ответа).
Вероятность, что студент правильно ответит на 5 вопросов, равна:
P(5) = C(8, 5) * (0.5)^5 * (1-0.5)^(8-5)
Где C(8, 5) - количество комбинаций из 8 вопросов по 5 правильных ответов.
По формуле:
C(8, 5) = 8! / (5! * (8-5)!) = 56
Подставляя значения в формулу, получаем:
P(5) = 56 * (0.5)^5 * (1-0.5)^(8-5)
Вычисляя это выражение, получаем:
P(5) = 0.21875
Таким образом, вероятность того, что студент правильно ответит на пять вопросов, составляет 0.21875 или 21.875%.
2) Для нахождения вероятности того, что студент правильно ответит на не менее пяти вопросов, мы должны просуммировать вероятности ответов на 5, 6, 7 и 8 вопросов:
P(≥5) = P(5) + P(6) + P(7) + P(8)
Мы уже вычислили значение P(5) в предыдущем пункте. Теперь мы можем вычислить P(6), P(7) и P(8), используя ту же формулу, но изменяя значения C(8, k) и показатель степени 5.
Мы также можем заметить, что C(8, 8) = 1, так как это комбинация из 8 элементов, выбранных из 8 элементов. Таким образом, мы можем упростить последнее выражение.
Теперь можем подставить эти значения в формулу для P(≥5):
P(≥5) = 0.21875 + 0.109375 + 0.03125 + 0.00390625
Вычисляя это выражение, получаем:
P(≥5) = 0.36328125
Таким образом, вероятность того, что студент правильно ответит на не менее пяти вопросов, составляет 0.36328125 или 36.328125%.
3) Для нахождения вероятности того, что студент даст более пять правильных ответов, нам нужно найти вероятности дать 6, 7 и 8 правильных ответов, и затем их сложить:
P(>5) = P(6) + P(7) + P(8)
Мы уже вычислили значения P(6), P(7) и P(8) в предыдущем пункте. Теперь мы можем просто сложить эти значения:
P(>5) = 0.109375 + 0.03125 + 0.00390625
Вычисляя это выражение, получаем:
P(>5) = 0.14453125
Таким образом, вероятность того, что студент правильно ответит на более пяти вопросов, составляет 0.14453125 или 14.453125%.
1) Вероятность того, что студент правильно ответит на один вопрос, равна 0.5, так как он имеет два возможных варианта ответа ("да" или "нет"). Задача соответствует биномиальному распределению, где n = 8 (количество вопросов) и p = 0.5 (вероятность правильного ответа).
Вероятность, что студент правильно ответит на 5 вопросов, равна:
P(5) = C(8, 5) * (0.5)^5 * (1-0.5)^(8-5)
Где C(8, 5) - количество комбинаций из 8 вопросов по 5 правильных ответов.
По формуле:
C(8, 5) = 8! / (5! * (8-5)!) = 56
Подставляя значения в формулу, получаем:
P(5) = 56 * (0.5)^5 * (1-0.5)^(8-5)
Вычисляя это выражение, получаем:
P(5) = 0.21875
Таким образом, вероятность того, что студент правильно ответит на пять вопросов, составляет 0.21875 или 21.875%.
2) Для нахождения вероятности того, что студент правильно ответит на не менее пяти вопросов, мы должны просуммировать вероятности ответов на 5, 6, 7 и 8 вопросов:
P(≥5) = P(5) + P(6) + P(7) + P(8)
Мы уже вычислили значение P(5) в предыдущем пункте. Теперь мы можем вычислить P(6), P(7) и P(8), используя ту же формулу, но изменяя значения C(8, k) и показатель степени 5.
P(6) = C(8, 6) * (0.5)^6 * (1-0.5)^(8-6)
P(7) = C(8, 7) * (0.5)^7 * (1-0.5)^(8-7)
P(8) = C(8, 8) * (0.5)^8 * (1-0.5)^(8-8)
Мы также можем заметить, что C(8, 8) = 1, так как это комбинация из 8 элементов, выбранных из 8 элементов. Таким образом, мы можем упростить последнее выражение.
P(≥5) = P(5) + P(6) + P(7) + P(8)
P(≥5) = 0.21875 + P(6) + P(7) + (0.5)^8
Теперь мы можем рассчитать значение P(6):
C(8, 6) = 8! / (6! * (8-6)!) = 28
P(6) = 28 * (0.5)^6 * (1-0.5)^(8-6)
Вычисляя это выражение, получаем:
P(6) = 0.109375
Рассчитывая аналогичным образом P(7) и P(8):
C(8, 7) = 8! / (7! * (8-7)!) = 8
C(8, 8) = 1
P(7) = 8 * (0.5)^7 * (1-0.5)^(8-7) = 0.03125
P(8) = (0.5)^8 * (1-0.5)^(8-8) = 0.00390625
Теперь можем подставить эти значения в формулу для P(≥5):
P(≥5) = 0.21875 + 0.109375 + 0.03125 + 0.00390625
Вычисляя это выражение, получаем:
P(≥5) = 0.36328125
Таким образом, вероятность того, что студент правильно ответит на не менее пяти вопросов, составляет 0.36328125 или 36.328125%.
3) Для нахождения вероятности того, что студент даст более пять правильных ответов, нам нужно найти вероятности дать 6, 7 и 8 правильных ответов, и затем их сложить:
P(>5) = P(6) + P(7) + P(8)
Мы уже вычислили значения P(6), P(7) и P(8) в предыдущем пункте. Теперь мы можем просто сложить эти значения:
P(>5) = 0.109375 + 0.03125 + 0.00390625
Вычисляя это выражение, получаем:
P(>5) = 0.14453125
Таким образом, вероятность того, что студент правильно ответит на более пяти вопросов, составляет 0.14453125 или 14.453125%.