Войти Регистрация Спроси ai-bota

Сумма кубов первых n натуральных чисел

Показать ответ

Ответ:

crybaby1916

16.09.2020 20:47

$1^4=(0+1)^4=0^4+4*0^3+6*0^2+4*0+1\\ 2^4=(1+1)^4=1^4+4*1^3+6*1^2+4*1+1\\ ...\\ (n+1)^4=(n+1)^4=n^4+4*n^3+6*n^2+4*n+1$

Складывая равенства, получим:

$(1^4+2^4+...+n^4)+(n+1)^4=(1^4+2^4+...+n^4)+4*(1^3+2^3+...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+...+n)+1*(n+1)\\ (n+1)^4=4*(1^3+2^3+...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+...+n)+n+1\\ 1^3+2^3+...+n^3=\dfrac{(n+1)^4-6*(1^2+2^2+...+n^2)-4*(1+2+...+n)-n-1}{4}$

Используя формулы

$1+2+...+n=\dfrac{(n+1)n}{2}\\ 1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

получим:

$1^3+2^3+...+n^3=\dfrac{(n+1)^4-6*\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4*\dfrac{(n+1)n}{2}-n-1}{4}=\\\dfrac{(n+1)^4-n(n+1)(2n+1)-2(n+1)n-n-1}{4}=\\ \dfrac{(n+1)^4-(n+1)(n(2n+1)+2n+1)}{4}=\dfrac{(n+1)^4-(n+1)(2n+1)(n+1)}{4}=\dfrac{(n+1)^2((n+1)^2-(2n+1))}{4}=\dfrac{(n+1)^2(n^2+2n+1-(2n+1))}{4}=\dfrac{(n+1)^2n^2}{4}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

mrpetrov289

24.03.2022 11:49

При деление числа на 60 получилось частное k и остаток 46.найдите частное и остаток при делении данного числа на 15. !...

olya2010

24.03.2022 11:49

Вбуфете продали 17 бутербродов с сыром, а с колбаслй на 12 бутербродов больше. после этого в буфете осталось 24 бутерброда. сколько всего бутербродов было в буфете...

2comS

13.08.2022 19:48

Скільки в трикутнику кутів? вершин ? сторін...

udovika

13.08.2022 19:48

Решить : в одном классе n учеников , в другом на 8 учеников больше , чем в первом , а в третьем на 4 ученика меньше , чем во втором . все ученики этих трёх классов...

kvas1985

13.08.2022 19:48

Из московской спортивной школы провели товарищеские спортивные игры со школьниками чикаго,нью-йорка и бостона.в чикаго они побывали в 7 школах, в нью-йорке в 5,а...

А00000а

13.08.2022 19:48

Скільки в трикутнику кутів? вершин? сторін?...

panaitov023

13.08.2022 19:48

Решите уравнение: (5/6x+1/7x)*42=82...

eliza3108

13.08.2022 19:48

Высота дома 6м90см. 1этаж 4м35см. высота 2этажа?...

Tanya200404

13.08.2022 19:48

Лена и света сорвали 40 яблок. когда они съели поровну яблок, то у лены осталось 15 яблок, а у светы 9 яблок. сколько яблок сорвала лена?...

ПолинаКим13

13.08.2022 19:48

Если улитка 5м.пути проползет за 1ч,то ее скорость равна-м/ч?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку