Существует ли такое значение а при котором между числами минус а и а на координатной прямой лежит 1000 целых чисел

Существует.

Пошаговое объяснение:

Точка на координатной прямой МИНУС 501 и точка 501

Не существует, поскольку между противоположными числами всегда  

лежит нечётное количество целых чисел

Пошаговое объяснение:

-5 и 5 - числа -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 (9 чисел)