Телеграфная линия передаёт сообщение, состоящее из символов азбуки Морзе – "точки" и "тире". Символы передаются независимо друг от друга. Вероятность передачи "точки" – 0,6. Найти вероятность того, что из 10 символов ровно четыре "тире".
У функции 2 критические точки: (2; 44) и (-3; -81).
Находим знаки производной на полученных промежутках.
x = -4 -3 0 2 3
y' = -36 0 36 0 -36 .
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
ДАНО:Y(x) = -2*x³ -3*x² + 36*x
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения D(y) = R, Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая
2. Пересечение с осью OХ.
Разложим многочлен на множители. Y=(x--5,06)*x*(x-3,56)
Нули функции: Х₁ =-5,06, Х₂ =0, Х₃ =3,56
3. Интервалы знакопостоянства.
Положительная - Y(x)>0 X∈(-∞;-5,06]U[0;3,56]
Отрицательная - Y(x)<0 X∈[-5,06;0]U[3,56;+∞)
4. Пересечение с осью OY. Y(0) = 0
5. Исследование на чётность.
Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x), Функция ни чётная, ни нечётная - функция общего вида.
6. Первая производная. Y'(x) = -6*x² -6*x + 36 = 0
Корни Y'(x)=0. Х4=2 Х5=-3
Положительная парабола - отрицательная между корнями
7. Локальные экстремумы.
Максимум Ymax(X4=2) =44. Минимум Ymin(X5=-3) =-81
8. Интервалы возрастания и убывания.
Убывает Х∈(-∞;2;]U[-3;+∞) ,возрастает - Х∈[2;-3]
9. Вторая производная - Y"(x) = -12* x -6 = 0
Корень производной - точка перегиба Х₆= -0,5
10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆=-0,5]
Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆=-0,5; +∞).
11. График в приложении.
Дополнительно: шаблон для описания кубической функции.
Дана функция у＝-2x³-3x²+36x.
Производная равна: y' = -6x² - 6x + 36 = -6(x² - х + 6).
Приравняем её нулю: -6(x² + х - 6) = 0 (множитель в скобках).
x² + х - 6 = 0. Д = 1 + 24 = 25. x1,2 = (-1+-5)/2 = 2; -3.
У функции 2 критические точки: (2; 44) и (-3; -81).
Находим знаки производной на полученных промежутках.
x = -4 -3 0 2 3
y' = -36 0 36 0 -36 .
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
Минимум функции в точке х = -3, у = -81.
Максимум в точке х = 2, у = 44.
Возрастает на промежутке (-3; 2).
Убывает на промежутках (-∞; -3) и (2; +∞).