Тема: изображение комплексных чисел на координатной плоскости известно, что |z1|=|z2|=|z3|=0 и |z1+z2+z3|=0. докажите, что точки z1, z2, z3 образуют равносторонний треугольник.
Попробуем так положим что существуют такие числа и такие что По условию и то есть имеет места система Со второй системы уравнения следует что Тогда как выразим и с данного уравнения и подставим в выражение Теперь выразим и подставим в выражения Получим Значит выражения , Заметим что Учитывая что Получим что три выше сказанные выражения равны а так как - есть стороны длины и они как доказали равны , то есть удовлетворяют равенству сторон , а это в свою очередь равносторонний треугольник.
положим что существуют такие числа
и такие что
По условию
и
то есть имеет места система
Со второй системы уравнения следует что
Тогда как выразим
Теперь выразим
Получим
Значит выражения
Заметим что
Учитывая что
Получим что три выше сказанные выражения равны
а так как