.
Тема: Решение задач на закон распределения случайной величины.
Цель: Применить теоретические знания для решения практических задач.
Задание №1.
2 вариант. Вероятность того, что в магазине будет в наличии необходимая студенту книга, равна 0,3. Составить закон распределения числа посещенных магазинов, которые последовательно посетит студент, чтобы купить книгу, если в городе 3 магазина.
Задание №2.
2 вариант. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти дисперсию этой случайной величины.
Примечание: Охотник может попасть как с первого раза, так и не попасть вообще.
Задание №3.
2 вариант. На переэкзаменовку по теории вероятностей явились 3 студента. Вероятность того, что первый сдаст экзамен, равна 0,8, второй - 0,7, третий - 0,9. Найдите ряд распределения случайной величины Х числа студентов, сдавших экзамен.
Примечание: Найти вероятность удачной сдачи и неудачной сдачи экзамена. Из них найти закон распределения успешной сдачи.
9.6
Пошаговое объяснение:
1.6*5=8
8+1.6=9.6
Задание №1:
В этой задаче мы должны составить закон распределения числа посещенных магазинов, чтобы студент купил нужную ему книгу. У нас есть информация, что вероятность того, что в магазине будет нужная книга, равна 0,3. В городе всего 3 магазина.
Для начала составим таблицу, где мы будем отмечать вероятности посещения определенного количества магазинов:
Количество посещенных магазинов (X) Вероятность (P)
0 ?
1 ?
2 ?
3 ?
Так как студенту нужно купить книгу, то он будет продолжать посещать магазины до тех пор, пока не найдет нужную книгу. Поэтому можно сказать, что вероятность того, что студент один раз посетит магазин, равна вероятности наличия нужной книги в этом магазине. То есть P(X=1) = 0,3.
Вероятность того, что студент сразу же найдет нужную книгу и не будет посещать другие магазины, равна 0,3. Значит, P(X=0) = 0,7.
Теперь рассмотрим случай, когда студент посещает два магазина. Вероятность того, что нужная книга будет во втором магазине, равна 0,7 (так как вероятность не найти книгу в первом магазине равна 1 - 0,3 = 0,7). Значит, P(X=2) = 0,3 * 0,7 = 0,21.
Наконец, рассмотрим случай, когда студент посещает все три магазина. Вероятность найти нужную книгу в третьем магазине равна 0,7 * 0,7 = 0,49 (так как в первых двух магазинах она должна отсутствовать). Значит, P(X=3) = 0,3 * 0,7 * 0,7 = 0,147.
Таблица с законом распределения числа посещенных магазинов получится следующей:
Количество посещенных магазинов (X) Вероятность (P)
0 0,7
1 0,3
2 0,21
3 0,147
Ответ: закон распределения числа посещенных магазинов будет представлен указанными вероятностями.
Задание №2:
В этой задаче мы должны составить закон распределения числа промахов охотника, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но он успевает сделать не более 4 выстрелов.
Для начала составим таблицу, где мы будем отмечать вероятности числа промахов:
Количество промахов (X) Вероятность (P)
0 ?
1 ?
2 ?
3 ?
4 ?
Так как охотник делает выстрелы до первого попадания, то например, если он с первого раза попадает, то промахов у него не будет, то есть P(X=0) = 0,3.
Если охотник не попадает с первого выстрела, то вероятность промаха равна 1 - 0,7 = 0,3, так как вероятность попадания в цель равна 0,7. То есть P(X=1) = 0,3.
Если охотник не попадает с первого и второго выстрела, то вероятность промаха равна 0,3 * 0,3 = 0,09, так как это произведение вероятностей промаха при каждом выстреле. Значит, P(X=2) = 0,09.
Аналогично рассчитаем вероятности для трех и четырех промахов:
P(X=3) = 0,3 * 0,3 * 0,3 = 0,027
P(X=4) = 0,3 * 0,3 * 0,3 * 0,3 = 0,0081
Таблица с законом распределения числа промахов будет выглядеть следующим образом:
Количество промахов (X) Вероятность (P)
0 0,3
1 0,3
2 0,09
3 0,027
4 0,0081
Ответ: закон распределения числа промахов будет представлен указанными вероятностями.
Теперь найдем дисперсию этой случайной величины. Дисперсия случайной величины X вычисляется по формуле Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2, где E(X) - математическое ожидание X, E(X^2) - математическое ожидание квадрата X.
Математическое ожидание числа промахов можно вычислить по формуле E(X) = Σ(X * P(X)), где Σ - сумма по всем возможным значениям.
E(X) = 0 * 0,3 + 1 * 0,3 + 2 * 0,09 + 3 * 0,027 + 4 * 0,0081 = 0 + 0,3 + 0,18 + 0,081 + 0,0324 = 0,5934
Теперь вычислим E(X^2) = Σ(X^2 * P(X))
E(X^2) = (0^2 * 0,3) + (1^2 * 0,3) + (2^2 * 0,09) + (3^2 * 0,027) + (4^2 * 0,0081) = 0 + 0,3 + 0,18 + 0,243 + 0,1296 = 0,8536
Теперь вычислим Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 0,8536 - (0,5934)^2 = 0,8536 - 0,3516 = 0,502
Ответ: Дисперсия случайной величины числа промахов равна 0,502.
Задание №3:
В этом задании мы должны найти ряд распределения случайной величины X - числа студентов, сдавших экзамен. У нас дано, что на переэкзаменовку явились 3 студента, и для каждого студента даны вероятности сдать экзамен.
Для начала составим таблицу, где мы будем отмечать вероятности числа сдавших экзамен студентов:
Количество сдавших экзамен (X) Вероятность (P)
0 ?
1 ?
2 ?
3 ?
Мы знаем вероятности сдачи экзамена для каждого студента:
- Вероятность сдачи экзамена первым студентом равна 0,8.
- Вероятность сдачи экзамена вторым студентом равна 0,7.
- Вероятность сдачи экзамена третьим студентом равна 0,9.
Для начала найдем вероятности числа сдавших экзамен студентов (X=0, 1, 2, 3).
Чтобы найти вероятность X=0 (т.е. ни один студент не сдал экзамен), необходимо найти произведение вероятностей несдачи каждым студентом. Вероятность несдачи экзамена первым студентом равна 1 - 0,8 = 0,2, вторым - 1 - 0,7 = 0,3, третьим - 1 - 0,9 = 0,1. Значит, P(X=0) = 0,2 * 0,3 * 0,1 = 0,006.
Аналогично рассчитаем вероятности числа сдавших экзамен студентов:
P(X=1) = 0,8 * 0,3 * 0,1 + 0,2 * 0,7 * 0,1 + 0,2 * 0,3 * 0,9 = 0,024 + 0,014 + 0,018 = 0,056
P(X=2) = 0,8 * 0,7 * 0,1 + 0,2 * 0,7 * 0,9 + 0,8 * 0,3 * 0,9 = 0,056 + 0,126 + 0,216 = 0,398
P(X=3) = 0,8 * 0,7 * 0,9 = 0,504
Таблица с рядом распределения числа сдавших экзамен студентов будет выглядеть следующим образом:
Количество сдавших экзамен (X) Вероятность (P)
0 0,006
1 0,056
2 0,398
3 0,504
Теперь важно отметить, что этот ряд отражает успех или неудачу сдачи экзамена. Для нас интересны только значения 0 и 1 в столбце X, которые обозначают, сдал студент экзамен или нет.
Таким образом, закон распределения успешной сдачи экзамена находится следующим образом:
Количество сдавших экзамен (X) Вероятность успешной сдачи (P)
0 0,006
1 0,056
2 0
3 0
Ответ: закон распределения успешной сдачи экзамена будет представлен указанными вероятностями.
Надеюсь, что я максимально подробно и понятно объяснил решение задач на закон распределения случайной величины. Если у тебя остались вопросы, не стесняйся задавать их!