Тема: «Взаимное расположение прямых в пространстве» В кубе АВСDA1B1C1D1 точка М – середина В1С1, F – середина D1C1, К – середина DC, О – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Длину ребра куба взять за 1.
Заполнить таблицу. Решение с пояснениями в номерах 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15. При решении применяются знания синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника, теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов.
№ Прямые Взаимное расположение Угол между прямыми
1 АА1 и СС1
2 А1С1 и В1D1
3 А1С1 и C1D1
4 А1М и СС1
5 А1D и DC1
6 А1С1 и ВD
7 А1С и AC
8 А1B и D1C
9 А1С и BВ1
10 А1D и AВ
11 А1M и ВC
12 А1M и ВK
13 C1K и В1F
14 C1O и AВ1
15 A1O и B1D1
1. Прямые АА1 и СС1.
Для начала, нам нужно определить угол между плоскостями, в которых лежат данные прямые.
Так как прямые АА1 и СС1 — это диагонали куба, они лежат в плоскостях, перпендикулярных друг другу. Поэтому угол между ними равен 90 градусов.
Таким образом, в таблицу мы можем записать следующее:
№1 Прямые: АА1 и СС1 Взаимное расположение: пересекающиеся, перпендикулярные Угол между прямыми: 90°
2. Прямые А1С1 и В1D1.
В данном случае, прямые А1С1 и В1D1 лежат в смежных плоскостях данного куба.
Следовательно, эти прямые перпендикулярны друг другу. Значит, в таблицу будет записано:
№2 Прямые: А1С1 и В1D1 Взаимное расположение: пересекающиеся, перпендикулярные Угол между прямыми: 90°
3. Прямые А1С1 и C1D1.
Здесь мы имеем две диагонали простоугольного параллелепипеда (квадрата А1C1D1C1).
Такие диагонали всегда пересекаются. Следовательно, в таблице будет записано:
№3 Прямые: А1С1 и C1D1 Взаимное расположение: пересекающиеся Угол между прямыми: без указания угла
4. Прямые А1М и СС1.
Для начала, найдем координаты точки М.
Так как М – середина В1С1, которая находится на отрезке В1С1, то координаты М можно найти как среднее арифметическое координат точек В1 и С1.
Так как вершина куба А(0,0,0), а ребро куба равно 1, то координаты точки В1 будут (0,0,1), а координаты точки С1 – (1,0,0).
Тогда координаты точки М будут равны ((0+1)/2, (0+0)/2, (1+0)/2) = (1/2,0,1/2).
Далее, мы можем найти координаты точки СС1.
Так как СС1 – это отрезок, соединяющий точки С и С1, то координаты точки СС1 можно найти как разность координат точек С1 и С.
То есть ((1-0), (0-0), (0-1)) = (1,0,-1).
Теперь можем найти векторы, направленные по данным прямым:
А1М = (1/2,0,1/2),
СС1 = (1,0,-1).
Используем формулу скалярного произведения векторов для определения взаимного расположения прямых:
А1М*СС1 = (1/2,0,1/2)*(1,0,-1) = (1/2*1 + 0*0 + 1/2*(-1)) = 0.
Так как скалярное произведение равно нулю, это означает, что прямые А1М и СС1 перпендикулярны друг другу.
№4 Прямые: А1М и СС1 Взаимное расположение: пересекающиеся, перпендикулярные Угол между прямыми: 90°
5. Прямые А1D и DC1.
Для начала, найдем координаты точки D и C1:
D – середина А1С1.
Координаты точки А1 (1,0,0), точки С1 (1,0,1), поэтому координаты точки D ((1+1)/2, (0+0)/2, (0+1)/2) = (1, 0, 1/2).
А теперь найдем координаты точки C1:
C1 – это середина CD, а точка C (0,0,1), а точка D (1,0,1/2), поэтому координаты точки C1 ((0+1)/2, (0+0)/2, (1+1/2)/2) = (1/2, 0, 3/4).
Теперь можем найти векторы, направленные по данным прямым:
А1D = (1-1, 0-0, 1/2-0) = (0, 0, 1/2),
DC1 = (1/2-1, 0-0, 3/4-1/2) = (-1/2, 0, 1/4).
Используем формулу скалярного произведения векторов для определения взаимного расположения прямых:
А1D*DC1 = (0, 0, 1/2)*(-1/2, 0, 1/4) = 0.
Так как скалярное произведение равно нулю, это означает, что прямые А1D и DC1 перпендикулярны друг другу.
№5 Прямые: А1D и DC1 Взаимное расположение: пересекающиеся, перпендикулярные Угол между прямыми: 90°
Продолжение следует...