ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ
Задача 1. Выборка задана в виде распределения частот:
xi 4 7 8 12
ni 5 2 3 10
Найти распределение относительных частот.
Задача 2. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=10
xi 186 192 194
ni 2 5 3
Задача 3. По данным выборки объема n =16 из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=1 нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интер¬вал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,95.
Для нахождения распределения относительных частот необходимо разделить каждую частоту на сумму всех частот. То есть, нужно разделить каждое значение ni на сумму всех значений n.
Для данного примера, сумма значений n равна:
5 + 2 + 3 + 10 = 20
Теперь найдем относительные частоты, разделив каждое значение ni на сумму значений n:
Относительная частота для значения 4 = 5/20 = 0.25
Относительная частота для значения 7 = 2/20 = 0.1
Относительная частота для значения 8 = 3/20 = 0.15
Относительная частота для значения 12 = 10/20 = 0.5
Таким образом, распределение относительных частот будет следующим:
xi 4 7 8 12
ni 0.25 0.1 0.15 0.5
Задача 2:
Для нахождения выборочной дисперсии необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти выборочное среднее (x̄), умножив каждое значение xi на соответствующую частоту ni, и просуммировав все полученные значения. Затем разделить эту сумму на сумму значений n.
Для данного примера:
Сумма значений xi * ni = (186*2) + (192*5) + (194*3) = 372 + 960 + 582 = 1914
Сумма значений n = 2 + 5 + 3 = 10
Выборочное среднее (x̄) = 1914/10 = 191.4
2. Найти выборочную дисперсию (S^2), умножив каждое значение разности между xi и выборочным средним x̄ на соответствующую частоту ni, затем просуммировав все полученные значения. Затем разделить эту сумму на сумму значений n - 1 (где n - это объем выборки).
Для данного примера:
(186-191.4)^2 = 30.16
(192-191.4)^2 = 0.36
(194-191.4)^2 = 6.76
Сумма значений (xi - x̄)^2 * ni = (30.16*2) + (0.36*5) + (6.76*3) = 19.68 + 1.8 + 20.28 = 41.76
Выборочная дисперсия (S^2) = 41.76/9 = 4.64
Таким образом, выборочная дисперсия по данному распределению выборки объема n=10 равна 4.64.
Задача 3:
Для нахождения доверительного интервала, покрывающего генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,95, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала, используя таблицу значений для t-распределения.
Дано, что «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=1 и объем выборки n=16.
Чтобы найти нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала, воспользуемся следующей формулой:
нижняя граница = s * √(n-1) / t
верхняя граница = s * √(n-1) / t
2. Определить значение t, используя таблицу значений для t-распределения, с учетом объема выборки n и уровня доверия (в данном случае, 0.95).
Таким образом, необходимо найти соответствующее значение t для n=16 и уровня доверия 0.95.
3. Подставить значения в формулу и рассчитать нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала.
Обратите внимание, что конкретное значение t будет зависеть от выбранного уровня доверия и объема выборки. Здесь мы предоставляем общий алгоритм для нахождения доверительного интервала, но конкретные значения и расчеты могут отличаться в зависимости от заданных параметров.
Надеюсь, это помогло вам разобраться в представленных задачах по теории вероятности. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их!