Тетраэдр задан координатами своих вершин а, в, с, d. найти: а) найти длину вектора ав; б) угол между векторами ав и сd; в) площадь треугольника авс; г) орт вектора вс; д) объем тетраэдра dавс; е) уравнение плоскости, содержащей основание тетраэдра – треугольник авс; ж) длину высоты тетраэдра, проведенной из вершины d; з) угол между плоскостями авс и dвс.а ( 2, − 4, − 7) , в (5, − 6, 0) , с(−1, 3, − 3) , d (−10, − 8, 7).
AOD - равнобедренный треугольник, где FO - является медианой, высотой, биссектрисой.
PC || FO, так как PC лежит на прямой DC, а F середина отрезка AD (по условию), значит прямая FO делит прямоугольник на два равных прямоугольника.
PC=FO, так как PC=DP=FO исходя из построенного рисунка.
Определение параллелограмма: параллелограммом называется четырехугольник, стороны которого попарно параллельны. (Частые случаи параллелограмма - прямоугольник, квадрат, ромб)
Используем несколько свойств параллелограмма:
1) Противолежащие стороны равны.
2) Противоположные углы равны.
3) Сумма углов, прилежащих к одной сторон, равна 180°
∠BCP=90°, диагональ AC делит данный угол ровно пополам, значит ∠OCP=45°
∠DFO=90°, прямая проведенная из середин сторон AD и DC параллельна диагонали AC, значит ∠PFO=45°
Из параллельности FP и OC следует, что данные стороны равны.
Сумма углов четырехугольника равна 360°. Вычтем из этого числа известные углы и поделим на 2 оставшихся:
360°-45°-45°=270°
270°:2=135°
Значит, ∠FOC=135°=∠FPC
Из равности углов OCP и PFO, FOC и FPC следует, что четырехугольник FOCP является параллелограммом.
1+9+1*9=19,
4+9+4*9=49,
1+19+1*19=39,
1+49+1*49=99,
4+19+4*19=99,
4+49+4*49=249,
9+19+9*19=199,
9+49+9*49=499,
19+49+19*49=999...
Возможные варианты “соросовских произведений":
1 и оканчивающиеся на 9 число (10х+9): 1+(10х+9)+1*(10х+9)=
=10(2х+1)+9, {оканчивающееся на 9 число}
4 и оканчивающиеся на 9 число (10х+9): 4+(10х+9)+4*(10х+9)=
=10(5х+4)+9, {оканчивающееся на 9 число}
два оканчивающиеся на 9 числа (10х+9) и (10у+9): (10х+9)+(10у+9)+(10х+9)*(10у+9)=100(х+у+ху)+99. {оканчивающееся на 99 число}
“Соросовские произведения” оканчиваются цифрой 9.
Получить число 2000 путем “соросовского произведения" не возможно.
Если число 1999 является "соросовским произведением", то
1) существует такое число (10х+9), что 1+(10х+9)+1*(10х+9)=1999, или
2) существует такое число (10х+9), что 4+(10х+9)+4*(10х+9)=1999, или
3) существуют два таких числа (10х+9) и (10у+9), что (10х+9)+(10у+9)+(10х+9)*
*(10у+9)=1999.
1) 1+(10х+9)+1*(10х+9)=1999,
1+2(10х+9)=1999,
2(10х+9)=1998,
(10х+9)=999. {число 999 также является "соросовским произведением" - смотри выше}
Число 1999 можно получить путем "соросовского произведения".