Математика: [tex]y =y/(3x-y^2) ; y(0)=1[/tex]найти частно решение

Данное дифференциальное уравнение перепишем в следующем видегде Тогда , что собственно можем сделать вывод, что данное диф. уравнение является уравнением в полных дифференциалахЕсли функция F(x;y) удовлетворяет и , то - решение дифференциального уравненияИнтегрируем по переменной хдалее продифференцируем по переменной уОткуда общий интеграл Найдем частный интеграл, подставляя начальные условияЧастный интеграл:...

$y'=y/(3x-y^2) ; y(0)=1$
найти частно решение

Показать ответ

Ответ:

МААклерша

10.10.2020 06:10

Данное дифференциальное уравнение перепишем в следующем виде

$\dfrac{y^2-3x}{y^4}dy+\dfrac{1}{y^3}dx=0$

где $M(x,y)=\dfrac{1}{y^3},~~~ N(x;y)=\dfrac{y^2-3x}{y^4}$

Тогда $M'_y(x;y)=-\dfrac{3}{y^4}=N'(x;y)$ , что собственно можем сделать вывод, что данное диф. уравнение является уравнением в полных дифференциалах

Если функция F(x;y) удовлетворяет F'_x(x;y)=M(x;y) и F'_y(x;y)=N(x;y) , то F(x;y)=C - решение дифференциального уравнения

Интегрируем по переменной х

$\displaystyle F(x;y)=\int M(x;y)dx=\int \dfrac{dx}{y^3}=\dfrac{x}{y^3}+C(y)$

далее продифференцируем по переменной у

$F'_y(x;y)=\Big(\dfrac{x}{y^3}+C(y)\Big)'=-\dfrac{3x}{y^4}+C'(y)=N(x;y)=\dfrac{y^2-3x}{y^4}\\ \\ \\ -\dfrac{3x}{y^4}+C'(y)=\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{3x}{y^4}\\ \\ C'(y)=\dfrac{1}{y^2}~~~~\Rightarrow~~~\displaystyle C(y)=\int \dfrac{dy}{y^2}=-\dfrac{1}{y}$