Биссектриса треугольника Определение 4. Любая из трех биссектрис внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника.
Под биссектрисой угла треугольника также понимают отрезок между его вершиной и точкой пересечения биссектрисы с противолежащей стороной треугольника.
Теорема 8. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
биссектрисы Действительно, рассмотрим сначала точку Р пересечения двух биссектрис, например АК1 и ВК2. Эта точка одинаково удалена от сторон АВ и АС, так как она лежит на биссектрисе угла А, и одинаково удалена от сторон АВ и ВС, как принадлежащая биссектрисе угла В. Значит, она одинаково удалена от сторон АС и ВС и тем самым принадлежит третей биссектрисе СК3, то есть в точке Р пересекаются все три биссектрисы.
Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника
Теорема 9. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
к теоремам 9 и 10 Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную биссектрисе ВК, до пересечения в точке М продолжением стороны АВ. Так как ВК – биссектриса угла АВС, то ∠АВК=∠КВС. Далее, ∠АВК=∠ВМС, как соответственные углы при параллельных прямых, и ∠КВС=∠ВСМ, как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда ∠ВСМ=∠ВМС, и поэтому треугольник ВМС – равнобедренный, откуда ВС=ВМ. По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем АК: КС=АВ: ВМ=АВ: ВС, что и требовалось доказать.
Теорема 10 Биссектриса внешнего угла В треугольника АВС обладает аналогичным свойством: отрезки AL и CL от вершины А и С до точки L пересечения биссектрисы с продолжением стороны АС пропорциональны сторонам треугольника: AL:CL=AB:BC.
Это свойство доказывается так же, как и предыдущее: на рисунке проведена вс прямая СМ, параллельная биссектрисе BL. Углы ВМС и ВСМ равны, а значит, и стороны ВМ и ВС треугольника ВМС равны. Из чего приходим к выводу AL:CL=AB:BC.
формула биссектрисы 1 Теорема d4. (первая формула для биссектрисы): Если в треугольнике ABC отрезок AL является биссектрисой угла A, то AL? = AB·AC - LB·LC.
Доказательство: Пусть M - точка пересечения прямой AL с окружностью, описанной около треугольника ABC (рис. 41). Угол BAM равен углу MAC по условию. Углы BMA и BCA равны как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. Значит, треугольники BAM и LAC подобны по двум углам. Следовательно, AL : AC = AB : AM. Значит, AL · AM = AB · AC <=> AL · ( AL + LM ) = AB · AC <=> AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Что и требовалось доказать. Примечание: теорему об отрезках пересекающихся хорд в круге и о вписанных углах смотри в теме круг и окружность.
формула биссектрисы 2
Теорема d5. (вторая формула для биссектрисы): В треугольнике ABC со сторонами AB=a, AC=b и углом A, равным 2? и биссектрисой l, имеет место равенство:
l = ( 2ab / (a+b) ) · cos?.
Доказательство: Пусть ABC - данный треугольник, AL - его биссектриса (рис. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Тогда SABC = SALB + SALC. Следовательно, absin2? = alsin? + blsin? <=> 2absin?·cos? = (a + b)·lsin? <=> l = 2·( ab / (a+b) )· cos?. Теорема доказана.
Мою кошку атым Флора. Бул коричневая кошечка менен рыжими пятнышками бүткүл телу. Анын мордочке айтканда, узун усы жана дайыма влажный кара носик. Глазки у Флоранын карие. Кулактарын у моей мышыктар жетишерлик узун жана учтуу. Флора абдан пушистая. Кушает ал жакшы, ошондуктан өлчөмү тулку бойдун, өзүндө чоң. Хвост моей мышыктар длинный. Аларга ал дайыма виляет, эгерде ага бирдеме жакпайт. Лапы у Флоранын жумшак жана пушистые.Өзүндө бар көп сандаган оюнчуктар. Ал дайыма радуется, мен прихожу үйгө мектеп окуучулары. Ал билет, анткени, мына-мына, мен аны покормлю жана уделю ага көңүл. Мен абдан сүйөм, өзүнүн кошку.
Биссектриса треугольника Определение 4. Любая из трех биссектрис внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника.
Под биссектрисой угла треугольника также понимают отрезок между его вершиной и точкой пересечения биссектрисы с противолежащей стороной треугольника.
Теорема 8. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
биссектрисы Действительно, рассмотрим сначала точку Р пересечения двух биссектрис, например АК1 и ВК2. Эта точка одинаково удалена от сторон АВ и АС, так как она лежит на биссектрисе угла А, и одинаково удалена от сторон АВ и ВС, как принадлежащая биссектрисе угла В. Значит, она одинаково удалена от сторон АС и ВС и тем самым принадлежит третей биссектрисе СК3, то есть в точке Р пересекаются все три биссектрисы.
Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника
Теорема 9. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
к теоремам 9 и 10 Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную биссектрисе ВК, до пересечения в точке М продолжением стороны АВ. Так как ВК – биссектриса угла АВС, то ∠АВК=∠КВС. Далее, ∠АВК=∠ВМС, как соответственные углы при параллельных прямых, и ∠КВС=∠ВСМ, как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда ∠ВСМ=∠ВМС, и поэтому треугольник ВМС – равнобедренный, откуда ВС=ВМ. По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем АК: КС=АВ: ВМ=АВ: ВС, что и требовалось доказать.
Теорема 10 Биссектриса внешнего угла В треугольника АВС обладает аналогичным свойством: отрезки AL и CL от вершины А и С до точки L пересечения биссектрисы с продолжением стороны АС пропорциональны сторонам треугольника: AL:CL=AB:BC.
Это свойство доказывается так же, как и предыдущее: на рисунке проведена вс прямая СМ, параллельная биссектрисе BL. Углы ВМС и ВСМ равны, а значит, и стороны ВМ и ВС треугольника ВМС равны. Из чего приходим к выводу AL:CL=AB:BC.
формула биссектрисы 1 Теорема d4. (первая формула для биссектрисы): Если в треугольнике ABC отрезок AL является биссектрисой угла A, то AL? = AB·AC - LB·LC.
Доказательство: Пусть M - точка пересечения прямой AL с окружностью, описанной около треугольника ABC (рис. 41). Угол BAM равен углу MAC по условию. Углы BMA и BCA равны как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. Значит, треугольники BAM и LAC подобны по двум углам. Следовательно, AL : AC = AB : AM. Значит, AL · AM = AB · AC <=> AL · ( AL + LM ) = AB · AC <=> AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Что и требовалось доказать. Примечание: теорему об отрезках пересекающихся хорд в круге и о вписанных углах смотри в теме круг и окружность.
формула биссектрисы 2
Теорема d5. (вторая формула для биссектрисы): В треугольнике ABC со сторонами AB=a, AC=b и углом A, равным 2? и биссектрисой l, имеет место равенство:
l = ( 2ab / (a+b) ) · cos?.
Доказательство: Пусть ABC - данный треугольник, AL - его биссектриса (рис. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Тогда SABC = SALB + SALC. Следовательно, absin2? = alsin? + blsin? <=> 2absin?·cos? = (a + b)·lsin? <=> l = 2·( ab / (a+b) )· cos?. Теорема доказана.
Мою кошку атым Флора. Бул коричневая кошечка менен рыжими пятнышками бүткүл телу. Анын мордочке айтканда, узун усы жана дайыма влажный кара носик. Глазки у Флоранын карие. Кулактарын у моей мышыктар жетишерлик узун жана учтуу. Флора абдан пушистая. Кушает ал жакшы, ошондуктан өлчөмү тулку бойдун, өзүндө чоң. Хвост моей мышыктар длинный. Аларга ал дайыма виляет, эгерде ага бирдеме жакпайт. Лапы у Флоранын жумшак жана пушистые.Өзүндө бар көп сандаган оюнчуктар. Ал дайыма радуется, мен прихожу үйгө мектеп окуучулары. Ал билет, анткени, мына-мына, мен аны покормлю жана уделю ага көңүл. Мен абдан сүйөм, өзүнүн кошку.