Токар планував за деякий час виготовити 105 деталей проте він виконав це завдання на 2 дні раніше терміну оскільки виготовляв щодня на 14 деталей більше ніж планував. скільки деталей він виготовляв щодня

Даны координаты пирамиды: A1(2,-2,1), A2(10,2,2), A3(6,1,2), A4(8,4,4)
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора A1A2
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 10-2; Y = 2-(-2); Z = 2-1
A1A2(8;4;1)
A1A3(4;3;1)
A1A4(6;6;3)
A2A3(-4;-1;0)
A2A4(-2;2;2)
A3A4(2;3;2)
Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
|a| = √(X²+Y²+Z²).
Длина ребра А1А2 равна:
А1А2 = √((8² + 4² + 1²) = √(64 + 16 + 1)  = √81 = 9.

2) Найдем угол между ребрами A1A2(8;4;1) и A1A4(6;6;3):
cos α = (8*6+4*6+1*3)/(9*9) = (48+24+4)/81 = 76/81 =  0,925926. 
α = arccos(0.925926) = 0,387317 радиан = 22,19161°. 
3) Площадь грани А1А2А3.
Площадь грани можно найти по формуле:
S = (1/2)*|a|*|b|*sin α,
где sin α = √(1 - cos²α).

Найдем площадь грани A1A2A3
Найдем угол между ребрами A1A2(8;4;1) и A1A3(4;3;1):
cos α = (8*4+4*3+1*1)/(9*√26) =  45/45,89118 = 0,980581.
sin α = √(1 -  0,980581²) =  0,196116.
Площадь грани A1A2A3 равна:
S = (1/2)*9*√26* 0,196116 = 4,5 кв.ед.
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
Векторное произведение:
 i       j       k
8      4      1
4      3      1  =
= i(4*1-3*1) - j(8*1-4*1) + k(8*3-4*4) = i - 4j + 8k.
S = (1/2)*√(1²+4²+8²) = (1/2)*√81 = 4,5 кв.ед.

4) Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
               X1   Y1    Z1
 (1/6)*    X2    Y2    Z2
              X3    Y3   Z3 =

           = 8       4     1
              4       3     1
              6       6     3
Находим определитель матрицы
∆ = 8*(3*3-6*1)-4*(4*3-6*1)+6*(4*1-3*1) = 6.
V = (1/6)*6 = 1 куб.ед.

Даны координаты вершин пирамиды:

A1(4; 7; 8), A2(-1; 3; 0) , A3(2; 4; 9) , A4(1; 8; 9).

Находим:

1. Длину ребра А1А2.

Вектор А1А2 = (-1-4; 3-7; 0-8) = (-5; -4; -8).

|A1A2| = √((-5²) + (-4)² + (-8)²) =   √(25 + 16 + 64) = √ 105.

2. Угол между ребрами А1А2 и А1А4.

Вектор А1А2 = (-5; -4; -8), |A1A2| = √ 105 (см.п.1).

Находим вектор А1А4 = (1-4; 8-7; 9-8) = (-3; 1; 1) и его модуль:

|A1A4| =  √(9 + 1 + 1) = √ 11.

cos (A1A2_A1A4) = (-5)*(-3)+(-4)*1+(-8)*1)/(√ 105*√ 11) = 3/√ 1155 ≈ 3/33,98529.

Угол равен 0,088273 радиан или  1,4824078 градуса.

3. Площадь грани А1А2А3.

Вектор А1А2 = (-5; -4; -8) (см.п.1).

Находим вектор А1А3 =  A3(2,4,9) - A1(4,7,8) = (-2; -3; 1).

Площадь равна половине модуля векторного произведения А1А2 на А1А3.

 i         j        k|        i          j

-5       -4      -8|      -5       -4

-2      -3         1|       -2      -3  = -4i + 16j + 15k + 5j - 24i - 8k =

                                            = -28i + 21j + 7k = (-28; 21; 7).  

S = (1/2)√((-28)² + 21² + 7²) =  (1/2)√(784 + 441 + 49) = (1/2)√1274 =

= (1/2)*7√26 = (7/2)√26 ≈ 17,846568 кв.ед.

4. Объем пирамиды V = (1/6)*[A1A2xA1A3]*A1A4 =

= (1/6)* (-28; 21; 7)*(-3; 1; 1) = (1/6)*(84 +21 + 7) = 112/6 = 56/3 ≈ 18,6667  куб.ед.

 5. Длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3;

H = 3V/S(A1A2A3) = 3*(56/3)/((7/2)√26) = 56√26/91 ≈ 3,137858.

6. Уравнение ребра А1А4.

Точка A1(4; 7; 8), вектор А1А4 = (-3; 1; 1), его модуль √(9+1+1) =√11.

Уравнение А1А4: (x - 4)/(-3) = (y - 7)/1 = (z - 8)/1.

7. Уравнение плоскости А1А2А3.

Используя найденное векторное произведение А1А2 на А1А3:

-28x + 21y + 7z - 91 = 0   или, сократив на (-7):

4x - 3y - z + 13 = 0.

8. Угол между ребром А1А4 и плоскостью А1А2А3;

Вектор А1А4 = (-3; 1; 1), модуль √11.

Вектор плоскости (-28;21; 7), модуль √1274.

sin a = |-3*-28+1*21+1*7)/(√11*√1274) = 0,9460998.

Угол равен 1,240974 радиан или 71,10256 градуса.