Тренажёр № 3
Найти общий вид первообразных
для функции.
1. у = (х2 – 3)2
,
2. у = (3х + 1)(3х – 1),
3. у = (2х – 5)(5 + 2х),
4. у = (1 + 3х)2
,
5. у = (1 – х)(1 + х + х2
),
6. у = х(2 + 9х),
7. у = 2х(1– 3х + 16х2
),
8. у = 4х3
(3 – 5х),
9. у = 0,5х(2 – х)(2 + х),
10. у = хn
(х
2 – 2).
.
Тренажёр № 4
Найти общий вид первообразных
для функции.
1. у = 6х3 х
2 – 3х2
,
2. у = 12(х2
)
3 + 4,
3. у = 4хn + 5 : х
n + 4
,
4. у = 3х n – 2
∙ х
n + 4
,
5. у = 4 – 8х
n ∙ х
n – 3
,
6. у = х + 9х2
,
7. у = (4х + 14х
2
) : х
8. у = (4х3 + 12х2
) : 4х2
,
9. у = (х2 – 4) : (х + 2),
10. у = (х4 + 2х2 + 1) : (х2 + 1)
∫((х^2 – 3)^2)dx = ∫(х^4 – 6х^2 + 9)dx = (1/5)х^5 – 2х^3 + 9х + C, где C - произвольная константа.
2. Для функции у = (3х + 1)(3х – 1), мы можем использовать формулу для первообразной произведения двух функций. Формула имеет вид ∫(f(x)g'(x) + f'(x)g(x))dx = f(x)g(x) + C, где f(x) и g(x) - две функции, а f'(x) и g'(x) - их производные. В данном случае, f(x) = 3х + 1 и g(x) = 3х – 1, а их производные равны f'(x) = 3 и g'(x) = 3. Подставляя эти значения в формулу, получим:
∫((3х + 1)(3х – 1))dx = (3х + 1)(3х – 1) + C = 9x^2 - 1 + C.
3. Для функции у = (2х – 5)(5 + 2х), мы можем использовать формулу для первообразной произведения двух функций, аналогично предыдущему примеру. В данном случае, f(x) = 2х – 5 и g(x) = 5 + 2х, а их производные равны f'(x) = 2 и g'(x) = 2. Подставляя эти значения в формулу, получим:
∫((2х – 5)(5 + 2х))dx = (2х – 5)(5 + 2х) + C = 4x^2 - 5x - 25 + C.
4. Для функции у = (1 + 3х)^2, мы также можем использовать формулу для первообразной степенной функции. В данном случае, (1 + 3х) является базовой степенной функцией, поэтому мы применим формулу:
∫((1 + 3х)^2)dx = ∫(1 + 6х + 9х^2)dx = х + 3х^2 + 3х^3 + C.
5. Для функции у = (1 – х)(1 + х + х^2), мы также можем использовать формулу для первообразной произведения двух функций. В данном случае, f(x) = 1 – х и g(x) = 1 + х + х^2, а их производные равны f'(x) = -1 и g'(x) = 1 + 2х. Подставляя эти значения в формулу, получим:
∫((1 – х)(1 + х + х^2))dx = (1 – х)(1 + х + х^2) + C = х + х^2 - х^3 + 1 + C.
6. Для функции у = х(2 + 9х), мы можем использовать формулу для первообразной произведения двух функций, аналогично предыдущим примерам. В данном случае, f(x) = х и g(x) = 2 + 9х, а их производные равны f'(x) = 1 и g'(x) = 9. Подставляя эти значения в формулу, получим:
∫(х(2 + 9х))dx = х(2 + 9х) + C = 2x + 9x^2 + C.
7. Для функции у = 2х(1 – 3х + 16х^2), мы также можем использовать формулу для первообразной произведения двух функций. В данном случае, f(x) = х и g(x) = 1 – 3х + 16х^2, а их производные равны f'(x) = 1 и g'(x) = -3 + 32х. Подставляя эти значения в формулу, получим:
∫(2х(1 – 3х + 16х^2))dx = 2х(1 – 3х + 16х^2) + C = 2x - 6x^2 + 32x^3 + C.
8. Для функции у = 4х^3(3 – 5х), мы можем использовать формулу для первообразной произведения двух функций, аналогично предыдущим примерам. В данном случае, f(x) = 4х^3 и g(x) = 3 – 5х, а их производные равны f'(x) = 12х^2 и g'(x) = -5. Подставляя эти значения в формулу, получим:
∫(4х^3(3 – 5х))dx = 4х^3(3 – 5х) + C = 12x^3 - 20x^4 + C.
9. Для функции у = 0,5х(2 – х)(2 + х), мы можем использовать формулу для первообразной произведения трех функций. В данном случае, f(x) = 0,5х, g(x) = 2 – х и h(x) = 2 + х, а их производные равны f'(x) = 0,5, g'(x) = -1 и h'(x) = 1. Подставляя эти значения в формулу, получим:
∫(0,5х(2 – х)(2 + х))dx = 0,5∫((2 – х)(2 + х))dx = 0,5∫(4 – х^2)dx = 0,5(4x - (1/3)x^3) + C = 2x - (1/6)x^3 + C.
10. Для функции у = х^n(х^2 – 2), мы можем использовать формулу для первообразной произведения двух функций, аналогично предыдущим примерам. В данном случае, f(x) = х^n и g(x) = х^2 – 2, а их производные равны f'(x) = nх^(n-1) и g'(x) = 2х. Подставляя эти значения в формулу, получим:
∫(х^n(х^2 – 2))dx = (х^n(х^2 – 2))/(n+3) + C, где C - произвольная константа.
Продолжая аналогично для второго тренажёра, мы можем использовать аналогичные методы для нахождения общего вида первообразных для каждой функции.