Треугольник авс равнобедренный с основанием ас. точки k и n середины сторон ав и вс соответственно,точка м лежит на стороне ас, причём угол акм=сnм,найдите авм и вмс, если авс=36 градусов.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны и сумма всех углов = 180 градусов. следовательно, углы у основания будут равны (180-36)/2 = 72 градуса.
Из задания изначально не известно, где именно лежит точка М на стороне АС. Но при этом сказано, что углы АКМ=СNМ. Фигура MkBn является ромбом, т.к. kB = Bn из условия (Точки k и n середины сторон АВ и ВС). Если провести прямую kn, то угол knB тождественен углу ACB = 72 градуса.Угол Bkn тоже тождествен углу BAC = 72 градуса. Следовательно, треугольник kBn тождествен треугольнику ABC, который является равнобедренным. 
Далее, угол AB = AkM+ MkN+nkB. Или 180 + x + y +72
Угол BC = MnC + Mnk + knB. Или 180 + z + r + 72
Можно записать, что x + y +72 = z + r + 72 = 180. По условию сказано, что АКМ=СNМ, значит x = z. Тогда можно утверждать, что x+y+72 = x+r+72.
x-x+y = r+72-72. Отсюда y=r. Поскольку я принял, что у это MkN, а r  = Mnk, то фигура MkBn -ромб с углами 36 градусов и 360-(2*36)/2 = 144 градуса.
Поскольку это ромб, то kn перпендикулярно BM. Учитывая, что треугольники подобны, то BM перпендикулярно AC и является биссектрисой и высотой. Угол AMB и BMC = 90, угол MAB = 72, угол ABM = 180-90-72 = 18 градусов.
ответ: ABM= 18 градусов, BMC = 90 градусов.
Очень много времени ушло на доказательство, что точка M лежит посередине AC. В принципе, это выткало из равенства углов АКМ и СNМ