Треугольник задан вершинами А (-2;2) B (7;-6) C(1;2) Найти а)уравнение прямой BN параллельной АС б)уравнение медианы СД в)уравнение высоты АЕ г)угол В д)центр тяжести треугольника
а) Чтобы найти уравнение прямой BN, которая параллельна прямой АС, нужно знать, что параллельные прямые имеют одинаковый коэффициент наклона. Для этого рассчитаем коэффициент наклона прямой АС.
Коэффициент наклона прямой m1 вычисляется по формуле: m1 = (y2-y1)/(x2-x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек, лежащих на прямой.
m1 = (2-2)/(1-(-2)) = 0/3 = 0
Таким образом, коэффициент наклона прямой АС равен 0.
Уравнение прямой BN, параллельной АС, будет иметь такой же коэффициент наклона. Известно, что точка N лежит на прямой BN и имеет координаты B(7,-6). Зная координаты точки и коэффициент наклона, можем использовать формулу прямой вида y = mx + b, где m - коэффициент наклона, b - свободный член.
Так как прямая BN проходит через точку B(7,-6), можем вставить координаты x и y в уравнение прямой и решить его относительно b.
-6 = 0*7 + b
b = -6
Таким образом, уравнение прямой BN будет иметь вид y = 0x - 6, что упрощается до y = -6.
б) Чтобы найти уравнение медианы СД, нужно найти середину отрезка СД. Для этого рассчитаем координаты середины отрезка СД, используя формулы:
xm = (x1 + x2) / 2
ym = (y1 + y2) / 2
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты концов отрезка.
Таким образом, координаты середины отрезка СД равны (4, -2).
Теперь у нас есть точка на медиане СД, а также точка C(1, 2), через которую проходит медиана. Можем найти уравнение прямой медианы СД, используя формулу прямой через две точки:
y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек, лежащих на медиане.
y - 2 = (-2 - 2) / (4 - 1) * (x - 1)
y - 2 = (-4) / (3) * (x - 1)
y - 2 = -4/3 * x + 4/3
y = -4/3 * x + 4/3 + 2
y = -4/3 * x + 4/3 + 6/3
y = -4/3 * x + 10/3
Таким образом, уравнение медианы СД имеет вид y = -4/3 * x + 10/3.
в) Чтобы найти уравнение высоты АЕ, нужно найти перпендикулярный коэффициент наклона к прямой АС, проходящей через вершины A и C.
m1 = 0
m2 = -1 / 0 (деление на ноль не определено)
Так как коэффициент наклона прямой АС равен нулю, перпендикулярный коэффициент наклона не определен.
Теперь заметим, что высота АЕ проходит через точку Е(1, 2). Так как перпендикулярный коэффициент наклона не определен, можем напрямую получить уравнение вертикальной прямой через точку:
x = 1
Таким образом, уравнение высоты АЕ имеет вид x = 1.
г) Чтобы найти угол В, нужно найти угол между отрезками AB и BC. Для этого можно использовать формулу косинуса:
а) Чтобы найти уравнение прямой BN, которая параллельна прямой АС, нужно знать, что параллельные прямые имеют одинаковый коэффициент наклона. Для этого рассчитаем коэффициент наклона прямой АС.
Коэффициент наклона прямой m1 вычисляется по формуле: m1 = (y2-y1)/(x2-x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек, лежащих на прямой.
m1 = (2-2)/(1-(-2)) = 0/3 = 0
Таким образом, коэффициент наклона прямой АС равен 0.
Уравнение прямой BN, параллельной АС, будет иметь такой же коэффициент наклона. Известно, что точка N лежит на прямой BN и имеет координаты B(7,-6). Зная координаты точки и коэффициент наклона, можем использовать формулу прямой вида y = mx + b, где m - коэффициент наклона, b - свободный член.
Так как прямая BN проходит через точку B(7,-6), можем вставить координаты x и y в уравнение прямой и решить его относительно b.
-6 = 0*7 + b
b = -6
Таким образом, уравнение прямой BN будет иметь вид y = 0x - 6, что упрощается до y = -6.
б) Чтобы найти уравнение медианы СД, нужно найти середину отрезка СД. Для этого рассчитаем координаты середины отрезка СД, используя формулы:
xm = (x1 + x2) / 2
ym = (y1 + y2) / 2
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты концов отрезка.
xm = (1 + 7) / 2 = 8 / 2 = 4
ym = (2 + -6) / 2 = -4 / 2 = -2
Таким образом, координаты середины отрезка СД равны (4, -2).
Теперь у нас есть точка на медиане СД, а также точка C(1, 2), через которую проходит медиана. Можем найти уравнение прямой медианы СД, используя формулу прямой через две точки:
y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек, лежащих на медиане.
y - 2 = (-2 - 2) / (4 - 1) * (x - 1)
y - 2 = (-4) / (3) * (x - 1)
y - 2 = -4/3 * x + 4/3
y = -4/3 * x + 4/3 + 2
y = -4/3 * x + 4/3 + 6/3
y = -4/3 * x + 10/3
Таким образом, уравнение медианы СД имеет вид y = -4/3 * x + 10/3.
в) Чтобы найти уравнение высоты АЕ, нужно найти перпендикулярный коэффициент наклона к прямой АС, проходящей через вершины A и C.
Перпендикулярный коэффициент наклона m2 вычисляется по формуле: m2 = -1 / m1
m1 = 0
m2 = -1 / 0 (деление на ноль не определено)
Так как коэффициент наклона прямой АС равен нулю, перпендикулярный коэффициент наклона не определен.
Теперь заметим, что высота АЕ проходит через точку Е(1, 2). Так как перпендикулярный коэффициент наклона не определен, можем напрямую получить уравнение вертикальной прямой через точку:
x = 1
Таким образом, уравнение высоты АЕ имеет вид x = 1.
г) Чтобы найти угол В, нужно найти угол между отрезками AB и BC. Для этого можно использовать формулу косинуса:
cos(B) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)
где AB, BC и AC - длины сторон треугольника.
AB = sqrt((7 - (-2))^2 + (-6 - 2)^2) = sqrt(81 + 64) = sqrt(145)
BC = sqrt((1 - 7)^2 + (2 - (-6))^2) = sqrt((-6)^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10
AC = sqrt((-2 - 1)^2 + (2 - 2)^2) = sqrt((-3)^2 + 0^2) = sqrt(9) = 3
cos(B) = (sqrt(145)^2 + 10^2 - 3^2) / (2 * sqrt(145) * 10) = (145 + 100 - 9) / (2 * sqrt(145) * 10) = 236 / (2 * sqrt(145) * 10) = 236 / (20 * sqrt(145))
Теперь можем найти угол B, воспользовавшись формулой обратного косинуса:
B = cos^(-1)(236 / (20 * sqrt(145)))
д) Чтобы найти центр тяжести треугольника, нужно найти точку, которая является средним арифметическим точек вершин треугольника.
xс = (xа + xb + xc) / 3
yc = (ya + yb + yc) / 3
где (xa, ya), (xb, yb), и (xc, yc) - координаты вершин треугольника.
xс = (-2 + 7 + 1) / 3 = 6 / 3 = 2
yc = (2 + (-6) + 2) / 3 = -2 / 3
Таким образом, координаты центра тяжести треугольника равны (2, -2/3).