Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи P(x), можно получить из него число a0 так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.
Решение:
Приведем схему вычеркивания одночленов, дающую на каждом шаге многочлены, имеющие корни.
Пусть многочлен
P(x) = axn + bxm + ... + c
(a, b, c ≠ 0) содержит не менее трёх членов (xn и xm
две старших степени переменной x в P).
Если n или m нечётно, вычеркивая в P(x) одночлен bxm или axn соответственно, получим многочлен нечётной степени, имеющий хотя бы один корень.
Вычеркивая в дальнейшем другие одночлены, мы получим искомую оследовательность многочленов. Поэтому далее рассматриваем случай, когда n и m чётны.
Умножая при необходимости на –1, можем считать, что a > 0. Если c < 0, то в P(x) можно вычеркнуть любой одночлен, отличный от старшего и свободного члена, полученный многочлен P1(x) принимает отрицательное значение c при x = 0 и положительное при достаточно большом x, значит, имеет корень. Далее считаем, что c > 0.
Пусть P(t) = 0. Если b > 0, вычеркнем в P(x) одночлен bxm. При больших положительных x значение полученного многочлена P1(x) положительно, но P1(t) = P(t) – btm < 0 (так как t ≠ 0, а m чётно), следовательно P1(x) имеет корни.
Если же b < 0, вычеркнем одночлен axn, тогда значения P(x) отрицательны при больших x, но P1(0) = P(0) = c > 0, значит, он тоже имеет корни.
По приведенной схеме мы получим в конце многочлен, имеющий корни и содержащий ровно два одночлена, один из которых P(0). Утверждение доказано.
P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a0
имеет хотя бы один действительный корень и
a0 ≠ 0.
Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи P(x), можно получить из него число a0 так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.
Решение:
Приведем схему вычеркивания одночленов, дающую на каждом шаге многочлены, имеющие корни.
Пусть многочлен
P(x) = axn + bxm + ... + c
(a, b, c ≠ 0) содержит не менее трёх членов (xn и xm
две старших степени переменной x в P).
Если n или m нечётно, вычеркивая в P(x) одночлен bxm или axn соответственно, получим многочлен нечётной степени, имеющий хотя бы один корень.
Вычеркивая в дальнейшем другие одночлены, мы получим искомую оследовательность многочленов. Поэтому далее рассматриваем случай, когда n и m чётны.
Умножая при необходимости на –1, можем считать, что a > 0. Если c < 0, то в P(x) можно вычеркнуть любой одночлен, отличный от старшего и свободного члена, полученный многочлен P1(x) принимает отрицательное значение c при x = 0 и положительное при достаточно большом x, значит, имеет корень. Далее считаем, что c > 0.
Пусть P(t) = 0. Если b > 0, вычеркнем в P(x) одночлен bxm. При больших положительных x значение полученного многочлена P1(x) положительно, но P1(t) = P(t) – btm < 0 (так как t ≠ 0, а m чётно), следовательно P1(x) имеет корни.
Если же b < 0, вычеркнем одночлен axn, тогда значения P(x) отрицательны при больших x, но P1(0) = P(0) = c > 0, значит, он тоже имеет корни.
По приведенной схеме мы получим в конце многочлен, имеющий корни и содержащий ровно два одночлена, один из которых P(0). Утверждение доказано.
Пошаговое объяснение:
А)
Разложим на простые множители 360
360 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5
Разложим на простые множители 378
378 = 2 • 3 • 3 • 3 • 7
Выберем одинаковые простые множители в обоих числах.
2 , 3 , 3
Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ
НОД (360; 378) = 2 • 3 • 3 = 18
Разложим на простые множители 360
360 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5
Разложим на простые множители 378
378 = 2 • 3 • 3 • 3 • 7
Выберем в разложении меньшего числа (360) множители, которые не вошли в разложение
2 , 2 , 5
Добавим эти множители в разложение бóльшего числа
2 , 3 , 3 , 3 , 7 , 2 , 2 , 5
Полученное произведение запишем в ответ.
НОК (360, 378) = 2 • 3 • 3 • 3 • 7 • 2 • 2 • 5 = 7560
Б)
Разложим на простые множители 1386
1386 = 2 • 3 • 3 • 7 • 11
Разложим на простые множители 330
330 = 2 • 3 • 5 • 11
Выберем одинаковые простые множители в обоих числах.
2 , 3 , 11
Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ
НОД (1386; 330) = 2 • 3 • 11 = 66
Разложим на простые множители 1386
1386 = 2 • 3 • 3 • 7 • 11
Разложим на простые множители 330
330 = 2 • 3 • 5 • 11
Выберем в разложении меньшего числа (330) множители, которые не вошли в разложение
5
Добавим эти множители в разложение бóльшего числа
2 , 3 , 3 , 7 , 11 , 5
Полученное произведение запишем в ответ.
НОК (1386, 330) = 2 • 3 • 3 • 7 • 11 • 5 = 6930