Математика: У=1/1-х^2 исследоват функции

— функция является четной и непериодической. Если , то , значит — точка пересечения с осью ординат. Если , то есть , то , значит нет точек пересечения с осью абсцисс. Поскольку и — точки разрыва функции и и , то Если , то ; если , то Если , то ; если , то Найдем наклонные асимптоты :Если , то имеем горизонтальную асимптоту. Найдем Следовательно, — горизонтальная асимптота.Из уравнения имеем критическую точку функции: Заполним таблицу №1 (см. вложение).Если , то Систематизируем данные, полученные...

У=1/1-х^2 исследоват функции

Показать ответ

Ответ:

kristinandrosov

11.10.2020 04:45

$y = \dfrac{1}{1 - x^{2}}$

$1) \ D(y): \ 1 - x^{2} \neq 0; \ x^{2} \neq 1; \ x \neq \pm 1 \Rightarrow x \in (-\infty; -1) \cup (-1; \ 1) \cup (1; +\infty)$

$2) \ y(-x) = \dfrac{1}{1 - (-x)^{2}} = \dfrac{1}{1 - x^{2}}$ — функция является четной и непериодической.

Если x = 0 , то y = 1 , значит $(0; \ 1)$ — точка пересечения с осью ординат. Если y = 0 , то есть $\dfrac{1}{1 - x^{2}} = 0$ , то $x = \varnothing$ , значит нет точек пересечения с осью абсцисс.

Поскольку x = 1 и x = -1 — точки разрыва функции и $\underset{x\rightarrow -1}{\lim} \dfrac{1}{1 - x^{2}} = \infty$ и $\underset{x\rightarrow 1}{\lim} \dfrac{1}{1 - x^{2}} = \infty$ , то

Если $x\rightarrow -1, \ x < -1$ , то $y \rightarrow +\infty$ ; если $x\rightarrow -1, \ x -1$ , то $y\rightarrow -\infty$

Если $x\rightarrow 1, \ x < 1$ , то $y \rightarrow +\infty$ ; если $x\rightarrow 1, \ x 1$ , то $y\rightarrow -\infty$

Найдем наклонные асимптоты (y = kx + b) :

$k = \underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{y}{x} = \underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{1}{x(1 - x^{2})} = 0$

Если k = 0 , то имеем горизонтальную асимптоту. Найдем

$\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}(y - kx) = \underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{1}{1 - x^{2}} = 0$

Следовательно, y = 0 — горизонтальная асимптота.

$5) \ y' = \left(\dfrac{1}{1 - x^{2}} \right)' = \dfrac{2x}{(1 - x^{2})^{2}}$

Из уравнения $\dfrac{2x}{(1 - x^{2})^{2}} = 0$ имеем критическую точку функции: x = 0

Заполним таблицу №1 (см. вложение).

$6) \ y'' = \left(\dfrac{2x}{(1 - x^{2})^{2}} \right)' = \dfrac{2(1 - x^{2})^{2} + 8x^{2}(1 - x^{2})}{(1 - x^{2})^{4}} = \dfrac{2(1 - x^{2})(1 - x^{2} + 4x^{2})}{(1 - x^{2})^{4}} =\\= \dfrac{2(1 + 3x^{2})}{(1 - x^{2})^{3}} = \dfrac{2 + 6x^{2}}{(1 - x^{2})^{3}}$