Цепная связь: У каждого времени года - своя музыка, свои оттенки. Из года в год зима сменяется весной, и вся природа словно оживает, пробуждается от зимнего сна, рождается заново. Пение птиц, журчание ручья, веселый звон капели – все говорит о пробуждении природы. И даже первый весенний гром резвится и играет, а птицы и деревья весело вторят ему. Сменяя весну, приходит красное лето. Звуки становятся чуть тише и плавнее. Под палящими лучами дневного солнца стихают крики птиц. Все как будто замирает в ожидании прохладного вечера. После жаркого лета приходит тихая осень, и все опять затихает, озарившись на прощанье яркими красками. Параллельная связь: Июльский сумеречно-тёплый лес неторопливо готовился отойти ко сну. Смолкали непоседливые лесные птицы, замирали набухающие темнотой ёлки. Затвердевала смола, и её запах мешался с запахом сухой, ещё не опустившейся наземь росы И ещё одна сцепная связь: Самая большая цель жизни - увеличивать добро в окружающем мире. А добро - это прежде всего счастье для всех людей. Оно слагается из многого, и каждый раз жизнь ставит перед человеком задачу, которую важно уметь решать. (Д. Лихачев) . Параллельная. Теплый, солнечный день. Деревья, измученные дождями и ветрами, нежатся на солнце. Стрекочут, как летом, кузнечики. Пересвистываются птицы. Удивительная тишина. Вот
Процесс нахождения производной f(x) функции F(x) называется дифференцированием. Обратная задача — отыскание самой функции F(x) по ее производной f(x) — называется интегрированием.
Определение I. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F'(x) = f(x).
Примеры:
1. Функция F(x) = - cos x является первообразной для функции f(x) = sin x при всех действительных значениях х, так как в любой точке х числовой прямой (- cos х)' = sin x.
2. Функция F(x) = х3 является первообразной для функции f(x) = Зх2 при всех действительных значениях х, так как в любой точке числовой прямой (х3) '= Зх2.
3. Функция F(x) =  является первообразной для функции f(x) = на интервале (-1; 1), так как в любой точке этого интервала

Задача отыскания по данной функции f(x) ее первообразной F(x) решается неоднозначно. Действительно, если F(x) —первообразная для f(х), т.е. F'(x) =f(x), то функция F(x)+C , где С— произвольная постоянная, также является первообразной для f(x), так как (F (х)+С)' = f(x) для любого числа С.
Например, для f(x) = cos x первообразной является не только sin x, но и функция sin х + С, так как (sin х + С)' = cos x.
Теорема 1. Если F (х) — какая-либо первообразная для функции f(x) на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для f(х) на этом же промежутке может быть представлена в виде F(x)+C, где С — произвольная постоянная.
Из теоремы следует, что множество функций F(x) + С, где F(x) — одна из первообразных для функции f(x), а С—произвольная постоянная, исчерпывает все семейство первообразных функций для f(х).
Определение 2. Множество всех первообразных функции f(x) называется ее неопределенным интегралом и обозначается символом .
При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, а переменная х— переменной интегрирования. Процесс восстановления функции по ее производной, или, что то же самое, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием. Так как интегрирование—операция, обратная дифференцированию, то для проверки правильности интегрирования достаточно продифференцировать результат интегрирования и получить при этом подынтегральную функцию.
Свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

Действительно,

(F(x)+C)' = F'(x) = f(x).
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

Действительно,

3. Интеграл от дифференциала функции равен (с точностью до произвольной постоянной) самой функции, т.е.

Действительно,

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

Действительно, если F(x) — первообразная для функции f(x), т.е. F'(x) = f(x), то kF(x) —первообразная для функции kf(x). Из определения 2 следует, что
 где .
5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, т.е.

Действительно, пусть F(x) и G(x) — первообразные для функций f(x) и g(x): F'(x) = f(x) и G'(x) = g(x). Тогда функция F(x) ± G(x) является первообразной для функции f(х) ± g(x) и, следовательно,


Очевидно, это свойство справедливо для любого конечного числа интегрируемых функций.
6. Если независимую переменную интегрирования х заменить некоторой дифференцируемой функцией и(х), то формула интегрирования не изменится. То есть, если справедливо равенство
У каждого времени года - своя музыка, свои оттенки. Из года в год зима сменяется весной, и вся природа словно оживает, пробуждается от зимнего сна, рождается заново. Пение птиц, журчание ручья, веселый звон капели – все говорит о пробуждении природы. И даже первый весенний гром резвится и играет, а птицы и деревья весело вторят ему.
Сменяя весну, приходит красное лето. Звуки становятся чуть тише и плавнее. Под палящими лучами дневного
солнца стихают крики птиц. Все как будто замирает в ожидании прохладного вечера. После жаркого лета приходит тихая осень, и все опять затихает, озарившись на прощанье яркими красками.
Параллельная связь:
Июльский сумеречно-тёплый лес неторопливо готовился отойти ко сну. Смолкали непоседливые лесные птицы, замирали набухающие темнотой ёлки. Затвердевала смола, и её запах мешался с запахом сухой, ещё не опустившейся наземь росы
И ещё одна сцепная связь:
Самая большая цель жизни - увеличивать добро в окружающем мире. А добро - это прежде всего счастье для всех людей. Оно слагается из многого, и каждый раз жизнь ставит перед человеком задачу, которую важно уметь решать. (Д. Лихачев) .
Параллельная. Теплый, солнечный день. Деревья, измученные дождями и ветрами, нежатся на солнце. Стрекочут, как летом, кузнечики. Пересвистываются птицы. Удивительная тишина. Вот
Процесс нахождения производной f(x) функции F(x) называется дифференцированием. Обратная задача — отыскание самой функции F(x) по ее производной f(x) — называется интегрированием.
Определение I. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F'(x) = f(x).
Примеры:
1. Функция F(x) = - cos x является первообразной для функции f(x) = sin x при всех действительных значениях х, так как в любой точке х числовой прямой (- cos х)' = sin x.
2. Функция F(x) = х3 является первообразной для функции f(x) = Зх2 при всех действительных значениях х, так как в любой точке числовой прямой (х3) '= Зх2.
3. Функция F(x) =  является первообразной для функции f(x) = на интервале (-1; 1), так как в любой точке этого интервала

Задача отыскания по данной функции f(x) ее первообразной F(x) решается неоднозначно. Действительно, если F(x) —первообразная для f(х), т.е. F'(x) =f(x), то функция F(x)+C , где С— произвольная постоянная, также является первообразной для f(x), так как (F (х)+С)' = f(x) для любого числа С.
Например, для f(x) = cos x первообразной является не только sin x, но и функция sin х + С, так как (sin х + С)' = cos x.
Теорема 1. Если F (х) — какая-либо первообразная для функции f(x) на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для f(х) на этом же промежутке может быть представлена в виде F(x)+C, где С — произвольная постоянная.
Из теоремы следует, что множество функций F(x) + С, где F(x) — одна из первообразных для функции f(x), а С—произвольная постоянная, исчерпывает все семейство первообразных функций для f(х).
Определение 2. Множество всех первообразных функции f(x) называется ее неопределенным интегралом и обозначается символом .
При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, а переменная х— переменной интегрирования. Процесс восстановления функции по ее производной, или, что то же самое, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием. Так как интегрирование—операция, обратная дифференцированию, то для проверки правильности интегрирования достаточно продифференцировать результат интегрирования и получить при этом подынтегральную функцию.
Свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

Действительно,

(F(x)+C)' = F'(x) = f(x).
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

Действительно,

3. Интеграл от дифференциала функции равен (с точностью до произвольной постоянной) самой функции, т.е.

Действительно,

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

Действительно, если F(x) — первообразная для функции f(x), т.е. F'(x) = f(x), то kF(x) —первообразная для функции kf(x). Из определения 2 следует, что
 где .
5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, т.е.

Действительно, пусть F(x) и G(x) — первообразные для функций f(x) и g(x): F'(x) = f(x) и G'(x) = g(x). Тогда функция F(x) ± G(x) является первообразной для функции f(х) ± g(x) и, следовательно,


Очевидно, это свойство справедливо для любого конечного числа интегрируемых функций.
6. Если независимую переменную интегрирования х заменить некоторой дифференцируемой функцией и(х), то формула интегрирования не изменится. То есть, если справедливо равенство
,
то справедливо и равенство
.