У конусі з центра основи до твірної проведено перпендикуляр, який нахилений до площини основи під кутом α. Знайти об’єм конуса, якщо довжина перпендикуляра дорівнює b.
Одним из наиболее эффективных численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение f(x)=0.
Заменим его равносильным уравнением x=φ(x).
Выберем начальное приближение корня x0 и подставим его в правую часть уравнения. Тогда получим некоторое число x1=φ(x0).
Подставляя теперь в правую часть вместо x0 число x1 получим число x2=φ(x1). Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел xn=φ(xn-1)
Если эта последовательность сходящаяся, то есть существует предел ξ = lim(xn), то переходя к пределу в равенстве и предполагая функцию φ(x) непрерывной найдем lim(xn) = φ(lim(xn-1)), n → ∞ или ξ=φ(ξ).
Таким образом, предел ξ является корнем уравнения и может быть вычислен по формуле с любой степенью точности.
Находим первую производную:
dF/dx = 4•x3+4
Решение.
Представим уравнение в форме:
x = x - λ((x4+4*x-3))
Найдем максимальное значение производной от функции f(x) = (x4+4*x-3)
max(4•x3+4) ≈ 8
Значение λ = 1/(8) ≈ 0.125
Таким образом, решаем следующее уравнение:
x-0.125*((x4+4*x-3)) = 0
F(0)=-3; F(1)=2
Поскольку F(0)*F(1)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [0;1].
Найдем корни уравнения:
(x4+4·x-3) = 0
ε = 0.001
Используем для этого Метод итераций.
Одним из наиболее эффективных численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение f(x)=0.
Заменим его равносильным уравнением x=φ(x).
Выберем начальное приближение корня x0 и подставим его в правую часть уравнения. Тогда получим некоторое число x1=φ(x0).
Подставляя теперь в правую часть вместо x0 число x1 получим число x2=φ(x1). Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел xn=φ(xn-1)
Если эта последовательность сходящаяся, то есть существует предел ξ = lim(xn), то переходя к пределу в равенстве и предполагая функцию φ(x) непрерывной найдем lim(xn) = φ(lim(xn-1)), n → ∞ или ξ=φ(ξ).
Таким образом, предел ξ является корнем уравнения и может быть вычислен по формуле с любой степенью точности.
Находим первую производную:
dF/dx = 4•x3+4
Решение.
Представим уравнение в форме:
x = x - λ((x4+4*x-3))
Найдем максимальное значение производной от функции f(x) = (x4+4*x-3)
max(4•x3+4) ≈ 8
Значение λ = 1/(8) ≈ 0.125
Таким образом, решаем следующее уравнение:
x-0.125*((x4+4*x-3)) = 0
F(0)=-3; F(1)=2
Поскольку F(0)*F(1)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [0;1].
Остальные расчеты сведем в таблицу.
N x F(x)
1 0 -3
2 0.375 -1.4802
3 0.56 -0.6615
4 0.6427 -0.2585
5 0.675 -0.09225
6 0.6866 -0.03157
7 0.6905 -0.01063
8 0.6918 -0.00356
ответ: x = 0.69183629621011; F(x) = -0.00356
Пошаговое объяснение:
Правильно? ,а то не уверен
Пошаговое объяснение:
Сначала заметим, что сумма 1+2+...+n+57 должна быть четным числом, чтобы камень и гирьки можно было разложить на две равных чаши.
Отсюда сумма S = 1+2+...+n должна быть нечетной.
Найдем, при каком минимальном n можно уравновесить камень весом 57 грамм.
n = 10: S = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 < 57 - мало.
n = 11: S = 55 + 11 = 66 > 57. Но S четное, поэтому не подходит.
n = 12: S = 66 + 12 = 78 - опять четное.
n = 13: S = 78 + 13 = 91 - подходит. Попробуем разложить на чаши.
Масса на каждой чаше должна быть:
m = (91 + 57)/2 = 148/2 = 74
На одной чаше: 57 + 1+2+3+4+7 = 57 + 17 = 74
На второй чаше: 5+6+8+9+10+11+12+13 = 19+10+20+25 = 29+45 = 74
На одной чаше с камнем получилось 5 гирек: 1,2,3,4,7.
n = 14: S = 91 + 14 = 105 - подходит. Раскладываем на чаши.
m = (105 + 57)/2 = 162/2 = 81
На одной чаше: 57 + 1+2+3+4+5+9 = 57 + 24 = 81
На второй чаше: 6+7+8+10+11+12+13+14 = 20+15+10+11+25 = 45+36 = 81
На одной чаше с камнем получилось 6 гирек: 1,2,3,4,5,9
И мне кажется, что при увеличении n количество гирек на чаше с камнем может расти неограниченно.
Например, при n = 17: S = 153, m = (153+57)/2 = 210/2 = 105
На одной чаше: 57 + 1+2+3+4+5+6+7+9+11 = 57 + 28 + 20 = 105
На другой чаше: 8+10+12+13+14+15+16+17 = 30+30+30+15 = 105
На одной чаше с камнем получилось 9 гирек: 1,2,3,4,5,6,7,9,11.
И так далее.