На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = 0 0,3333 1 4 5
y' = 4 0 -6 0 14.
Минимум функции в точке: х = 4,
Максимум функции в точке: х = 1/3.
Возрастает на промежутках: (-∞; (1/3)) и (4; ∞).
Убывает на промежутке: ((1/3); 4).
Так как минимум и максимум функции только локальные, то область значений функции - вся числовая ось: E(y) = R.
Дано уравнение y = x³ - (13/2)x² + 4x - 5.
1. Экстремумы функции:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y' = (x^3-(13/2)x^2+4x-5)' = 3x² -13x+4 = 0.
Решаем это уравнение 3x^2-13x+4=0 и его корни будут экстремумами:
Ищем дискриминант: D=13^2-4*3*4 = 169 - 48 = 121;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x1=(13 - √121)/(2*3 )= (13-11)/(6) = 1/3;
x2=(13 + √121)/(2*3)=(13+11)/(6)=24/6 = 4.
х1 = 1/3, х2 = 4.
Результат: y’=0. Точки: ((1/3); -4,351852) и (4; -29).
2. Интервалы возрастания и убывания функции:
Имеем 3 интервала монотонности функции: (-∞; (1/3)), ((1/3); 4) и (4; ∞).
На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = 0 0,3333 1 4 5
y' = 4 0 -6 0 14.
Минимум функции в точке: х = 4,
Максимум функции в точке: х = 1/3.
Возрастает на промежутках: (-∞; (1/3)) и (4; ∞).
Убывает на промежутке: ((1/3); 4).
Так как минимум и максимум функции только локальные, то область значений функции - вся числовая ось: E(y) = R.
2) 1 3/7 • 1,4 = 10/7 • 14/10 = 2
3) (5/12 + 3/8) • 12/19 = (10/24 + 9/24) • 12/19 =
= 19/24 • 12/19 = 1/2 = 0,5
4) 0,27 • 2,3 = 0,621
5) 6,5 • 8/13 = 65/10 • 8/13 = 40/10 = 4
6) 2 1/4 - 1,25 = 2,25 - 1,25 = 1
7) 0,125 + 5/8 = 0,125 + 5•125/(8•125) =
= 0,125 + 625/1000 = 0,125 + 0,625 = 0,75
8) 7 1/3 • 1 1/2 = 22/3 • 3/2 = 11
9) 0,75 : 2 1/16 : 1 5/11 = 75/100 : 33/16 : 16/11=
= 75/100 • 16/33 • 11/16 = 25/100 = 0,25
10) 5,2 : 0,4 = 52 : 4 = 13
11) 0,88 • 1/8 = 88/100 • 1/8 = 11/100 = 0,11
12) 2,01 + 4 1/5 = 2,01 + 4,2 = 6,21
13) 7,32 : 100 : 1.5 • 10 : 0,366 = 1 1/3
1) 7,32 : 100 = 0,0732
2) 0,0732 : 1,5 = 0,0488
3) 0,0488 • 10 = 0,488
4) 0,488 : 0,366 = 488/366 = 244/183 =
61•4/(61•3) = 4/3 = 1 1/3
14) 5,5 • 2/5 - 0,1 = 55/10 • 2/5 - 0,1 =
= 22/10 - 0,1 = 2,2 - 0,1 = 2,1
15) 3/7 • 1/5 • 2 1/3 = 3/7 • 1/5 • 7/3 = 1/5 = 0,2
16) (6 1/4 : 1 2/3 + 6 1/4) : 100 = 0,1
1) 6 1/4 : 1 2/3 = 25/4 : 5/3 = 25/4 • 3/5 = 15/4
2) 15/4 + 6 1/4 = 15/4 + 25/4 = 40/4 = 10
3) 10 : 100 = 0,1
17) 3 2/3 : 1 5/6 : 0,1 = 11/3 : 11/6 : 1/10 =
= 11/3 • 6/11 • 10/1 = 20
18) 119 : 2 1/8 • 1/4 = 119 : 17/8 • 1/4 =
= 119 • 8/17 • 1/4 = 7 • 2 = 14
19) 2 1/2 + 1 1/3 : 1/6 =
1) 1 1/3 : 1/6 = 4/3 • 6/1 = 8
2) 2 1/2 + 8 = 10 1/2 = 10,5
20) 3,045 : 2,03 = 1,5
21) 5,2 • 1/4 = 5,2 : 4 = 1,3
22) 4,4 • 1/2 : 2 = 4,4 : 4 = 1,1
23) 5 : 1 2/3 • 0,07 = 5 : 5/3 • 0,07 =
= 5 • 3/5 • 0,07 = 3 • 0,0,7 = 0,21
24) 2 1/2 • 4 4/5 • 0,001 = 5/2 • 24/5 • 0,001 =
= 12 • 0,001 = 0,012
25) 4 2/3 : 2 1/3 : 0,01 = 14/3 : 7/3 : 0,01 =
= 14/3 • 3/7 • 100/1 = 200
26) (2 2/7 + 3 1/4) • 7/31 : 1/6 = 7,5
1) 2 2/7 + 3 1/4 = 2 8/28 + 3 7/28 = 5 15/28
2) 5 15/28 • 7/31 = 155/28 • 7/31 = 5/4
3) 5/4 : 1/6 = 5/4 • 6/1 = 15/2 = 7,5
27) (2,7 - 1,4) • 0,1 = 1,3 • 0,1 = 0,13
28) 0,88 • 5/11 = 88/100 • 5/11 = 40/100 = 0,4
29) 1 : 1/2 : 10/31 = 1 • 2/1 • 31/10 = 62/10 = 6,2
30) 0,6 • 2 1/3 = 6/10 • 7/3 = 14/10 = 1,4
31) 3 4/7 • 1,4 = 25/7 • 14/10 = 50/10 = 5
32) 1,21 • 10 + 10 : 1/5 = 62,1
1) 1,21 • 10 = 12,1
2) 10 : 1/5 = 10 • 5/1 = 50
3) 12,1 + 50 = 62,1
33) 6/7 : 2/35 = 6/7 • 35/2 = 3•5 = 15