У сектор, радіус якого дорівнює R, а центральний кут Альфа (180 градусів), вписано квадрат так, що дві його вершини знаходяться на дузі сектора, а інші дві – на радіусах. Знайдіть сторону цього квадрата.
В сектор, радиус которого равен R, а центральный угол Альфа (180 градусов), вписано квадрат так, что две его вершины находятся на дуге сектора, а другие две - на радиусах. Найдите сторону этого квадрата.
1)
Приводим к общему знаменателю то, что в скобках:
Записываем под общей чертой и упрощаем:
Делим получившуюся дробь на оставшуюся:
Выносим общие множители за скобки:
Упрощаем:
2)
Приводим к общему знаменателю то, что в скобках:
Записываем под общей чертой и упрощаем:
Делим получившуюся дробь на оставшуюся, вынося общие множители за скобки:
Упрощаем:
3)
Умножим дроби, вынося общие множители:
Знаменатель второй дроби превратим в -a(a-6)
Запишем дроби под одной чертой и упростим их:
Вычтем из первой дроби вторую, приведя их к общему знаменателю:
Заданное уравнение х+√(16-х^2) = a представим так:
√(16-х^2) = -х + a.
Левая часть - уравнение полуокружности в положительной полуплоскости, правая - уравнение прямой, в котором параметр а соответствует ординате точки пересечения с осью Оу.
Возведём в квадрат.
16-х^2 = х²- 2aх + а².
Получили квадратное уравнение:
2х²- 2aх + (а² - 16) = 0.
Дискриминант D = 4a²- 4*2*(а² - 16) = -4а² + 128.
Уравнение имеет единственное решение, если дискриминант равен нулю:
-4а² + 128 = -4(а² - 32) = 0.
Отсюда а = +-4√2.
Но так как на промежутке а = (4...4√2) имеется 2 решения, а значение а = -4√2 выходит из области определения, то в ответ включаем:
-4 <= а < 4, а = 4√2.