Для доведення рівності Mc + AN = CN + AK використаємо властивості вписаного кола трикутника.
За теоремою про дотичні до кола, точка дотику тангенти до кола є точкою, яка лежить на протилежній стороні трикутника. Таким чином, маємо такі рівності:
AM = BM (1) - точка дотику кола до сторони AB розділяє її на дві рівні частини.
BN = CN (2) - точка дотику кола до сторони BC розділяє її на дві рівні частини.
AK = CK (3) - точка дотику кола до сторони AC розділяє її на дві рівні частини.
Природньо, можемо зазначити, що тривимірна точка M лежить на стороні BC, тобто можемо записати:
BC = BM + MC (4)
Підставимо рівності (1) та (2) у (4):
BC = AM + MC + BN
Згрупуємо подібні доданки:
BC = AM + BN + MC
За рівностіми (2) та (3), замінимо BN на CN та AM на AK:
Для доведення рівності Mc + AN = CN + AK використаємо властивості вписаного кола трикутника.
За теоремою про дотичні до кола, точка дотику тангенти до кола є точкою, яка лежить на протилежній стороні трикутника. Таким чином, маємо такі рівності:
AM = BM (1) - точка дотику кола до сторони AB розділяє її на дві рівні частини.
BN = CN (2) - точка дотику кола до сторони BC розділяє її на дві рівні частини.
AK = CK (3) - точка дотику кола до сторони AC розділяє її на дві рівні частини.
Природньо, можемо зазначити, що тривимірна точка M лежить на стороні BC, тобто можемо записати:
BC = BM + MC (4)
Підставимо рівності (1) та (2) у (4):
BC = AM + MC + BN
Згрупуємо подібні доданки:
BC = AM + BN + MC
За рівностіми (2) та (3), замінимо BN на CN та AM на AK:
BC = AK + CN + MC
А тепер поміняємо порядок доданків:
BC = CN + AK + MC
Враховуючи, що BC = CN + BN, можемо записати:
CN + BN = CN + AK + MC
Скасуємо спільні доданки з обох боків рівності:
BN = AK + MC
Замінимо BN на CN (за рівності (2)):
CN = AK + MC
Остаточно отримали рівність:
Mc + AN = CN + AK
(5 зірок можна?)