Ученик нарисовал пустую таблицу 50 x 50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причем 50 из них рациональные, а 50 - иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около ее строки и ее столбца (как в таблице умножения). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могло оказаться рациональными числами?

1875

Пошаговое объяснение:

Пусть вдоль левой стороны таблицы выписано x иррациональных и

50 – x рациональных чисел. Тогда вдоль верхней стороны выписаны 50 – x иррациональных и x рациональных чисел. Поскольку сумма рационального и иррационального чисел всегда иррациональна, в таблице стоит хотя бы x² + (50 – x)² = 2(x – 25)² + 2·25² ≥25*25+ 2·25² = 1875 иррациональных чисел. Значит, рациональных чисел не более 2500 – 1875 = 625.

Пример, когда рациональных чисел в таблице ровно 1250. Поставим вдоль левой стороны стоят числа 1, корень (2),3, корень(3) и т.д. а вдоль верхней – числа 25, корень(25), 26, корень(26) и т.д. Тогда иррациональными будут только 625+2·25² = 1875 сумм рационального и иррационального чисел.