Ведем систему координат. Начало координат в точке А. Направление оси Ох совпадает с вектором AD, оси Оу совпадает с вектором АВ, оси Оz совпадает с вектором АА₁.
Координаты указанных в условии задачи точек A₁(0;0;a); E₁(a/2;a;a); C₁(a;a;a); C(a;a;0)
Уравнение окружности с центром в точке (x₀;y₀;z₀) и радиусом R имеет вид (х-x₀)²+(у-y₀)²+(z-z₀)²=R²
Подставим координаты точек в данное уравнение, получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными:
(0-x₀)²+(0-y₀)²+(a-z₀)²=R²
((a/2)-x₀)²+(a-y₀)²+(a-z₀)²=R²
(a-x₀)²+(a-y₀)²+(a-z₀)²=R²
(a-x₀)²+(a-y₀)²+(0-z₀)²=R²
Вычитаем из третьего уравнения второе: (a-x₀)²-((a/2)-x₀)²=0; (a-x₀-(а/2)+х₀)(a-x₀+(а/2)-х₀) ⇒ х₀ =3а/4.
Вычитаем из третьего уравнения первое (a-x₀)²+(a-y₀)²-(0-x₀)²-(0-y₀)²=0; (a-x₀-x₀)(a-x₀+x₀)+(a-у₀-у₀)(a-у₀+у₀)=0 a-2x₀+a-2y₀=0 ⇒x₀+y₀=a y₀=a - x₀=a - (3a/4)=a/4
Вычитаем из третьего уравнения четвертое (a-z₀)²- (0-z₀)²=0; (a-z₀-z₀)(a-z₀+z₀)=0 ⇒ z₀ =а/2.
Подставим найденные координаты центра окружности в первое уравнение: (0-(3а/4))²+(0-(а/4))²+(a-(а/2))²=R²⇒ R=a·√(7/8).
Рассмотрим уравнение 3x-5y=13. Найдем множество целых решений этого уравнения. 1) 3x=5y+13=3(y+4)+2y+1 Так как левая часть кратна 3, то и правая часть должна быть кратна 3. Поэтому 2y+1 кратно 3. Пусть 2y+1=3a, a∈Z 2) 2y=3a-1=2a+a-1. Левая часть кратна 2, правая тоже должна быть кратна 2. Поэтому a-1 кратно 2. Пусть a-1=2b, b∈Z 3) a=2b+1. Ограничений на левую часть нет, поэтому можно вернуться к старым переменным: 2y+1=3a => 2y+1=3(2b+1) => 2y=6b+2 => y=3b+1 3x=5y+13 => 3x=5(3b+1)+13 => 3x=15b+18 => x=5b+6. Получили решение в целых числах (5b+6; 3b+1), b∈Z Подставим любое целое число вместо b и получим одно из решений, удовлетворяющих исходному уравнению. Например, b=0 => (6;1) b=1 => (11;4) b=-1 => (1;-2)
Направление оси Ох совпадает с вектором AD, оси Оу совпадает с вектором АВ, оси Оz совпадает с вектором АА₁.
Координаты указанных в условии задачи точек
A₁(0;0;a); E₁(a/2;a;a); C₁(a;a;a); C(a;a;0)
Уравнение окружности с центром в точке (x₀;y₀;z₀) и радиусом R имеет вид
(х-x₀)²+(у-y₀)²+(z-z₀)²=R²
Подставим координаты точек в данное уравнение, получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными:
(0-x₀)²+(0-y₀)²+(a-z₀)²=R²
((a/2)-x₀)²+(a-y₀)²+(a-z₀)²=R²
(a-x₀)²+(a-y₀)²+(a-z₀)²=R²
(a-x₀)²+(a-y₀)²+(0-z₀)²=R²
Вычитаем из третьего уравнения второе:
(a-x₀)²-((a/2)-x₀)²=0;
(a-x₀-(а/2)+х₀)(a-x₀+(а/2)-х₀) ⇒ х₀ =3а/4.
Вычитаем из третьего уравнения первое
(a-x₀)²+(a-y₀)²-(0-x₀)²-(0-y₀)²=0;
(a-x₀-x₀)(a-x₀+x₀)+(a-у₀-у₀)(a-у₀+у₀)=0
a-2x₀+a-2y₀=0 ⇒x₀+y₀=a
y₀=a - x₀=a - (3a/4)=a/4
Вычитаем из третьего уравнения четвертое
(a-z₀)²- (0-z₀)²=0;
(a-z₀-z₀)(a-z₀+z₀)=0 ⇒ z₀ =а/2.
Подставим найденные координаты центра окружности в первое уравнение:
(0-(3а/4))²+(0-(а/4))²+(a-(а/2))²=R²⇒
R=a·√(7/8).
О т в е т. R=a·√(7/8).
1) 3x=5y+13=3(y+4)+2y+1
Так как левая часть кратна 3, то и правая часть должна быть кратна 3. Поэтому 2y+1 кратно 3. Пусть 2y+1=3a, a∈Z
2) 2y=3a-1=2a+a-1. Левая часть кратна 2, правая тоже должна быть кратна 2. Поэтому a-1 кратно 2. Пусть a-1=2b, b∈Z
3) a=2b+1. Ограничений на левую часть нет, поэтому можно вернуться к старым переменным:
2y+1=3a => 2y+1=3(2b+1) => 2y=6b+2 => y=3b+1
3x=5y+13 => 3x=5(3b+1)+13 => 3x=15b+18 => x=5b+6.
Получили решение в целых числах (5b+6; 3b+1), b∈Z
Подставим любое целое число вместо b и получим одно из решений, удовлетворяющих исходному уравнению.
Например, b=0 => (6;1)
b=1 => (11;4)
b=-1 => (1;-2)