1) Найти область определения функции - все числа, кроме х = -2. 2) Исследовать функцию на непрерывность - в точке х = -2 разрыв графика; 3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной - подставим значение х = -х: у(х)=(х^2-5)/(x+2). у(-х)=(х^2-5)/(-x+2). Функция не чётная и не нечётная. 4) Найти интервал возрастания и убывания функции и точки экстремума. Производная равна y ' = (x²+4x+5)/(x+2)². Приравняем 0: достаточно приравнять 0 числитель, знаменатель не может быть равен 0. Выражение: x^2+4*x+5=0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=4^2-4*1*5=16-4*5=16-20=-4; Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней. Значит, у функции нет экстремумов.5) Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. Находим вторую производную. y '' = 2/(x+2)³. Она не может быть равной 0. Перегибов нет. Вторая производная при х < -2 отрицательна. График вогнут. При х > -2 график выпуклый. 6) Найти асимптоты графика функции. Горизонтальных асимптот нет. Вертикальная х = -2. Наклонные: для к находим предел f(x)/x к = 1. для в находим предел f(x)-x в = -2. Получаем уравнение у = х - 2.
1. ООФ: D(y)=(-∞;+∞) 2. Четность / нечетность функции: - не является ни четной, ни нечетной. 3. Точки пересечения с осями координат: С осью Оу (х=0): y(0)=2. Точка (0; 2) С осью Ох (у=0): - ноль функции - ноль функции - ноль функции Точки: (-2;0), ((-5-√29)/2;0), ((-5+√29)/2;0)
4. Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы: - точка максимума - точка минимума
Производная положительная при x∈(-∞;-3)U(-1;+∞) - функция возрастает Производная отрицательная при x∈(-3;-1) - функция убывает
5. Вычислим вторую производную и с ее исследуем график на интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба: Производная положительная при x∈(-2;+∞) - функция выпукла вниз Производная отрицательная при x∈(-∞;-2) - функция выпукла вверх
кроме х = -2.
2) Исследовать функцию на непрерывность - в точке х = -2 разрыв графика;
3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной - подставим значение х = -х:
у(х)=(х^2-5)/(x+2).
у(-х)=(х^2-5)/(-x+2).
Функция не чётная и не нечётная.
4) Найти интервал возрастания и убывания функции и точки экстремума.
Производная равна y ' = (x²+4x+5)/(x+2)².
Приравняем 0: достаточно приравнять 0 числитель, знаменатель не может быть равен 0.
Выражение: x^2+4*x+5=0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=4^2-4*1*5=16-4*5=16-20=-4; Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней.
Значит, у функции нет экстремумов.5) Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.
Находим вторую производную.
y '' = 2/(x+2)³.
Она не может быть равной 0. Перегибов нет.
Вторая производная при х < -2 отрицательна. График вогнут.
При х > -2 график выпуклый.
6) Найти асимптоты графика функции.
Горизонтальных асимптот нет.
Вертикальная х = -2.
Наклонные: для к находим предел f(x)/x к = 1.
для в находим предел f(x)-x в = -2.
Получаем уравнение у = х - 2.
Подробности в приложении.
1. ООФ: D(y)=(-∞;+∞)
2. Четность / нечетность функции:
3. Точки пересечения с осями координат:
С осью Оу (х=0): y(0)=2. Точка (0; 2)
С осью Ох (у=0):
Точки: (-2;0), ((-5-√29)/2;0), ((-5+√29)/2;0)
4. Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы:
Производная положительная при x∈(-∞;-3)U(-1;+∞) - функция возрастает
Производная отрицательная при x∈(-3;-1) - функция убывает
5. Вычислим вторую производную и с ее исследуем график на интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба:
Производная положительная при x∈(-2;+∞) - функция выпукла вниз
Производная отрицательная при x∈(-∞;-2) - функция выпукла вверх