а) на доске выписаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. после семи таких операций на доске будет только одно число. может ли оно равняться 97?
б) на доске выписаны числа 1, 21, 2², 2³, 210. разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. после нескольких таких операций на доске будет только одно число. чему оно может быть равно?
решение
a) получить 97 можно, например, так. последовательно вычитая из 16 числа 8, 4, 2, 1, получим 1. на доске остались числа 1, 32, 64, 128. далее: бикю 64 – 32 = 32, 32 – 1 = 31, 128 – 31 = 97.
б) докажем, что если на доске выписаны числа 1, 2, 2n, то после n операций, описанных в условии, может получиться любое нечётное число от 1 до 2n – 1. очевидно, числа, большие 2n, на доске не появляются. легко видеть также, что на доске всегда присутствует ровно одно нечётное число. значит, и последнее оставшееся на доске число нечётно. утверждение о том, что все указанные числа построить можно, докажем индукцией по n.
база. имея числа 1 и 2, можно получить только число 1.
шаг индукции. пусть на доске выписаны числа 1, 2, 2n+1. любое нечётное число, меньшее 2n, можно получить за n + 1 операцию (на первом шаге сотрём 2n+1 и 2n и напишем 2n, далее по предположению индукции). нечётные числа от 2n + 1 до 2n+ 1 – 1 можно записать в виде 2n+1 – a, где число a можно получить из набора 1, 2, 2n. на последнем шаге из 2n+1 вычитаем a.
ответ
а) может; б) любому нечётному числу от 1 до 210 – 1.
Verano - mi época favorita del año. Por último, poner fin a la fría y comenzar unas vacaciones. En verano se puede disfrutar del sol y los días cálidos, ir en viajes largos y caminatas. Especialmente la naturaleza es bella en el verano - bayas de ruido hojas verdes del bosque maduran, crecen los colores más increíbles. Uno puede caminar a través de cesar los prados de flores y disfrutar de la modesta blanco-margarita o tejer una guirnalda de dientes de león. Es agradable ir en el bosque para escapar de la oscuridad y el calor del día. Y si se mira de cerca, la recompensa para paseos forestales son robustos setas marrones y álamo orgullosos.
Y sólo en el verano vienen los ríos y lagos vivos. El agua está caliente y si se llega tranquilamente sentarse en la playa, se puede ver cómo en la cabeza libélulas volando sin miedo y el agua corriendo alevines a paso ligero. En la orilla del lago es tranquilo y pacífico - tan bueno para mirar el agua y disfrutar del reflejo del sol sobre el mismo. Y luego, junto con sus amigos desde hace mucho tiempo para nadar y bucear en el muelle.
Verano - el mejor momento para viajar. En nuestro país hay muchos lugares hermosos que realmente quieren ver. cuevas misteriosas, cascadas, altas montañas y pasa ... En todas partes que quieren ir. En los meses de verano siempre vamos con mi familia en un pequeño viaje - fuera de la ciudad.
а) на доске выписаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. после семи таких операций на доске будет только одно число. может ли оно равняться 97?
б) на доске выписаны числа 1, 21, 2², 2³, 210. разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. после нескольких таких операций на доске будет только одно число. чему оно может быть равно?
решение
a) получить 97 можно, например, так. последовательно вычитая из 16 числа 8, 4, 2, 1, получим 1. на доске остались числа 1, 32, 64, 128. далее: бикю 64 – 32 = 32, 32 – 1 = 31, 128 – 31 = 97.
б) докажем, что если на доске выписаны числа 1, 2, 2n, то после n операций, описанных в условии, может получиться любое нечётное число от 1 до 2n – 1. очевидно, числа, большие 2n, на доске не появляются. легко видеть также, что на доске всегда присутствует ровно одно нечётное число. значит, и последнее оставшееся на доске число нечётно. утверждение о том, что все указанные числа построить можно, докажем индукцией по n.
база. имея числа 1 и 2, можно получить только число 1.
шаг индукции. пусть на доске выписаны числа 1, 2, 2n+1. любое нечётное число, меньшее 2n, можно получить за n + 1 операцию (на первом шаге сотрём 2n+1 и 2n и напишем 2n, далее по предположению индукции). нечётные числа от 2n + 1 до 2n+ 1 – 1 можно записать в виде 2n+1 – a, где число a можно получить из набора 1, 2, 2n. на последнем шаге из 2n+1 вычитаем a.
ответ
а) может; б) любому нечётному числу от 1 до 210 – 1.
замечания
: 2 + 3
Y sólo en el verano vienen los ríos y lagos vivos. El agua está caliente y si se llega tranquilamente sentarse en la playa, se puede ver cómo en la cabeza libélulas volando sin miedo y el agua corriendo alevines a paso ligero. En la orilla del lago es tranquilo y pacífico - tan bueno para mirar el agua y disfrutar del reflejo del sol sobre el mismo. Y luego, junto con sus amigos desde hace mucho tiempo para nadar y bucear en el muelle.
Verano - el mejor momento para viajar. En nuestro país hay muchos lugares hermosos que realmente quieren ver. cuevas misteriosas, cascadas, altas montañas y pasa ... En todas partes que quieren ir. En los meses de verano siempre vamos con mi familia en un pequeño viaje - fuera de la ciudad.