Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка
y′′+2y′+2y=2x2+8x+6при заданных начальных условиях y(0)=1,y′(0)=4 Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка
1. Решаем однородное уравнение y′′+2y′+2y=0 Решение будем искать в виде y=eλx, тогда y'=λeλx;y''=λ2eλx. Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение
λ2eλx+2λeλx+2eλx=0=>сокращаем на eλx, получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений) λ2+2λ+2=0=> найдем корни характеристического уравнения λ1,2=−2±4−8−−−−√2=>λ1=−1−i;λ2=−1+i Получили комплексно сопряженные корни, им соответствуют два решения y1(x)=e−xcos(x);y2(x)=e−xsin(x) Общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация yодн=C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)
2. Решаем неоднородное уравнение y′′+2y′+2y=2x2+8x+6 Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной C1=C1(x);C2=C2(x) в виде yчаст(x)=C1(x)e−xcos(x)+C2(x)e−xsin(x)(1).
Для нахождения функций C1(x);C2(x), подставим результаты в систему с учетом y′1(x)=(e−xcos(x))′=−e−x(cos(x)+sin(x)) y′2(x)=(e−xsin(x))′=e−x(cos(x)−sin(x))
⎧⎩⎨⎪⎪C'1(x)y1(x)+C'2(x)y2(x)=0C'1(x)y'1(x)+C'2(x)y'2(x)=b(x)a0(x)получаем {C'1(x)e−xcos(x)+C'2(x)e−xsin(x)=0C'1(x)(−e−x(cos(x)+sin(x)))+C'2(x)(e−x(cos(x)−sin(x)))=2x2+8x+6=> {C'1(x)cos(x)+C'2(x)sin(x)=0−C'1(x)(cos(x)+sin(x))+C'2(x)(cos(x)−sin(x))=(2x2+8x+6)ex решаем систему уравнений методом Крамера и находим интегралы. C1(x)=∫∣∣∣0(2x2+8x+6)exsin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣∣∣∣cos(x)−(cos(x)+sin(x))sin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣dx= =∫−sin(x)(2x2+8x+6)excos(x)(cos(x)−sin(x))+sin(x)(cos(x)+sin(x))dx==∫−sin(x)(2x2+8x+6)excos2(x)−cos(x)sin(x)+sin(x)cos(x)+sin2(x)dx==−∫sin(x)(2x2+8x+6)exdx==−ex((x2+4x+2)sin(x)−x(x+2)cos(x)) C2(x)=∫∣∣∣cos(x) cos(x)+sin(x)0 (2x2+8x+6)ex ∣∣∣∣∣∣cos(x)−(cos(x)+sin(x))sin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣dx= =∫cos(x)(2x2+8x+6)excos(x)(cos(x)−sin(x))+sin(x)(cos(x)+sin(x))dx==∫cos(x)(2x2+8x+6)excos2(x)−cos(x)sin(x)+sin(x)cos(x)+sin2(x)dx==∫cos(x)(2x2+8x+6)exdx==ex((x2+4x+2)cos(x)+x(x+2)sin(x))
Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения
3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида yоб=yодн+yчаст подставляем результаты из п.1,п.2
yоб= C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)+ x2+2x
4. Решаем задачу Коши при начальных условиях y(0)=1,y′(0)=4 Находим значения констант при заданных начальных условиях Коши Находим значение функции при условии y(0)=1
yоб(0)= C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)+ x2+2x=1=> C1 =1 Находим производную y′(x) y′об= C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)+ x2+2x==−C1e−xcos(x)−C1e−xsin(x)−C2e−xsin(x)+C2e−xcos(x)+2x+2 при условии y′(0)=4 y′об(0) =−C1+C2+2=4 Составляем систему уравнений и решаем ее{C1=1−C1+C2=2=> {C1=1C2=3 Подставляем результат в п.3, получаем общее решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях Коши yоб=e−xcos(x)+3e−xsin(x)+ x2+2x ответ: решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальному условию Каши yоб=e−xcos(x)+3e−xsin(x)+ x2+2x
1. Оползни При получении сигнала об образовании оползней отключите электроприборы, газовые приборы и водопроводную сеть, приготовьтесь к немедленной эвакуации по заранее разработанным планам. Если скорость смещения оползня не высокая, тогда надо эвакуировать мебель или попробовать "сместить" жилье. Если скорость высокая, необходимая эвакуация людей. При эвакуации необходимо забрать документы, ценные вещи, теплую одежду и еду( два последних в зависимости от указаний) 2. Обвалы Надо находиться вдали от зданий с возможностью обвала карнизов, штукатурки, балконов, двигаться к краю обвальных масс, при обвале в первую очередь надо очистить пространство около лица и груди, расслабить мышцы. 3. Сели Услышав шум селевого потока следует подняться на возвышенность/лестницу (не менее 50 м, в зависимости от потока). Необходимо внимательно следить за селью ибо из потока могут выбрасываться большие камни.
В трех ситуациях надо СОХРАНЯТЬ СПОКОЙСТВИЕ и НЕ подпускать панику
Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка
y′′+2y′+2y=2x2+8x+6при заданных начальных условиях y(0)=1,y′(0)=4Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка
1. Решаем однородное уравнение y′′+2y′+2y=0
λ2eλx+2λeλx+2eλx=0=>сокращаем на eλx, получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений)Решение будем искать в виде y=eλx, тогда y'=λeλx;y''=λ2eλx.
Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение
λ2+2λ+2=0=> найдем корни характеристического уравнения λ1,2=−2±4−8−−−−√2=>λ1=−1−i;λ2=−1+i
Получили комплексно сопряженные корни, им соответствуют два решения y1(x)=e−xcos(x);y2(x)=e−xsin(x)
Общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация yодн=C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)
2. Решаем неоднородное уравнение y′′+2y′+2y=2x2+8x+6
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной C1=C1(x);C2=C2(x) в виде yчаст(x)=C1(x)e−xcos(x)+C2(x)e−xsin(x)(1).
Для нахождения функций C1(x);C2(x), подставим результаты в систему с учетом
⎧⎩⎨⎪⎪C'1(x)y1(x)+C'2(x)y2(x)=0C'1(x)y'1(x)+C'2(x)y'2(x)=b(x)a0(x)получаемy′1(x)=(e−xcos(x))′=−e−x(cos(x)+sin(x))
y′2(x)=(e−xsin(x))′=e−x(cos(x)−sin(x))
{C'1(x)e−xcos(x)+C'2(x)e−xsin(x)=0C'1(x)(−e−x(cos(x)+sin(x)))+C'2(x)(e−x(cos(x)−sin(x)))=2x2+8x+6=>
{C'1(x)cos(x)+C'2(x)sin(x)=0−C'1(x)(cos(x)+sin(x))+C'2(x)(cos(x)−sin(x))=(2x2+8x+6)ex
решаем систему уравнений методом Крамера и находим интегралы.
C1(x)=∫∣∣∣0(2x2+8x+6)exsin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣∣∣∣cos(x)−(cos(x)+sin(x))sin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣dx=
=∫−sin(x)(2x2+8x+6)excos(x)(cos(x)−sin(x))+sin(x)(cos(x)+sin(x))dx==∫−sin(x)(2x2+8x+6)excos2(x)−cos(x)sin(x)+sin(x)cos(x)+sin2(x)dx==−∫sin(x)(2x2+8x+6)exdx==−ex((x2+4x+2)sin(x)−x(x+2)cos(x))
C2(x)=∫∣∣∣cos(x) cos(x)+sin(x)0 (2x2+8x+6)ex ∣∣∣∣∣∣cos(x)−(cos(x)+sin(x))sin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣dx=
=∫cos(x)(2x2+8x+6)excos(x)(cos(x)−sin(x))+sin(x)(cos(x)+sin(x))dx==∫cos(x)(2x2+8x+6)excos2(x)−cos(x)sin(x)+sin(x)cos(x)+sin2(x)dx==∫cos(x)(2x2+8x+6)exdx==ex((x2+4x+2)cos(x)+x(x+2)sin(x))
Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения
yчаст= −ex((x2+4x+2)sin(x)−x(x+2)cos(x))∗e−xcos(x)++ex((x2+4x+2)cos(x)+x(x+2)sin(x))∗e−xsin(x)==x(x+2)cos2(x)+x(x+2)sin2(x) = x2+2x
3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида yоб=yодн+yчаст
подставляем результаты из п.1,п.2
yоб= C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)+ x2+2x
4. Решаем задачу Коши при начальных условиях y(0)=1,y′(0)=4
yоб(0)= C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)+ x2+2x=1=> C1 =1Находим значения констант при заданных начальных условиях Коши
Находим значение функции при условии y(0)=1
Находим производную y′(x)
y′об= C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)+ x2+2x==−C1e−xcos(x)−C1e−xsin(x)−C2e−xsin(x)+C2e−xcos(x)+2x+2
при условии y′(0)=4
y′об(0) =−C1+C2+2=4
Составляем систему уравнений и решаем ее{C1=1−C1+C2=2=> {C1=1C2=3
Подставляем результат в п.3, получаем общее решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях Коши
yоб=e−xcos(x)+3e−xsin(x)+ x2+2x
ответ: решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальному условию Каши yоб=e−xcos(x)+3e−xsin(x)+ x2+2x
При получении сигнала об образовании оползней отключите электроприборы, газовые приборы и водопроводную сеть, приготовьтесь к немедленной эвакуации по заранее разработанным планам.
Если скорость смещения оползня не высокая, тогда надо эвакуировать мебель или попробовать "сместить" жилье. Если скорость высокая, необходимая эвакуация людей.
При эвакуации необходимо забрать документы, ценные вещи, теплую одежду и еду( два последних в зависимости от указаний)
2. Обвалы
Надо находиться вдали от зданий с возможностью обвала карнизов, штукатурки, балконов, двигаться к краю обвальных масс, при обвале в первую очередь надо очистить пространство около лица и груди, расслабить мышцы.
3. Сели
Услышав шум селевого потока следует подняться на возвышенность/лестницу (не менее 50 м, в зависимости от потока). Необходимо внимательно следить за селью ибо из потока могут выбрасываться большие камни.
В трех ситуациях надо СОХРАНЯТЬ СПОКОЙСТВИЕ и НЕ подпускать панику