Как применять здесь признак Дирихле, я не придумал. Хорошо, что автор задания не разрешил пользоваться им)). А может быть автор имеет в виду, что нельзя использовать знание, при каких значениях параметра ряд Дирихле сходится, а при каких расходится? Ну не будем, так и быть. Но если ряд Дирихле случайно появится, мы не виноваты, и даже будем делать вид, что не узнали его.
Воспользуемся признаком сравнения:
Докажем, что ряд сходится. Докажем это с интегрального признака Коши. Монотонное убывание функции
при очевидно (если не верите - посчитайте производную). Обычно требуют сделать проверку стремления f(x) к нулю на плюс бесконечности, но на самом деле признак работает и без этого условия (другое дело, если функция не стремится к нулю, расходимость ряда очевидна и без всякого признака). Но если Вас это напрягает - посмотрите на функцию и у Вас не будет никаких сомнений в стремлении ее к нулю. Остается исследовать несобственный интеграл
на сходимость.
то есть интеграл сходится, а тогда и ряд (неужели это ряд Дирихле? вот сюрприз!) сходится, а тогда и ряд сходится по признаку сравнения.
Как применять здесь признак Дирихле, я не придумал. Хорошо, что автор задания не разрешил пользоваться им)). А может быть автор имеет в виду, что нельзя использовать знание, при каких значениях параметра ряд Дирихле сходится, а при каких расходится? Ну не будем, так и быть. Но если ряд Дирихле случайно появится, мы не виноваты, и даже будем делать вид, что не узнали его.
Воспользуемся признаком сравнения:
Докажем, что ряд
сходится. Докажем это с интегрального признака Коши. Монотонное убывание функции
то есть интеграл сходится, а тогда и ряд
(неужели это ряд Дирихле? вот сюрприз!) сходится, а тогда и ряд 
сходится по признаку сравнения.
Максимум: B(1; 2); z(1; 2) = 9.
Минимум: M(3; -2); z(3; -2) = -11.
Пошаговое объяснение:
1) не понял, что надо сделать с этой функцией.
2) z = x^2 + y^2 - 6x + 4y + 2
Найти наибольшее и наименьшее значения в прямоугольнике:
A(1; -3); B(1; 2); C(4; 2); D(4; -3)
Сначала найдем значения в углах:
z(A) = z(1; -3) = 1^2 + (-3)^2 - 6*1 + 4(-3) + 2 = 1 + 9 - 6 - 12 + 2 = -6
z(B) = z(1; 2) = 1^2 + 2^2 - 6*1 + 4*2 + 2 = 1 + 4 - 6 + 8 + 2 = 9
z(C) = z(4; 2) = 4^2 + 2^2 - 6*4 + 4*2 + 2 = 16 + 4 - 24 + 8 + 2 = 6
z(D) = z(4; -3) = 4^2 + (-3)^2 - 6*4 + 4(-3) + 2 = 16 + 9 - 24 - 12 + 2 = -9
Теперь находим экстремумы.
Приравниваем частные производные к 0
{ dz/dx = 2x - 6 = 0; x = 3
{ dz/dy = 2y + 4 = 0; y = -2
z(M) = z(3; -2) = 3^2 + (-2)^2 - 6*3 + 4(-2) + 2 = 9 + 4 - 18 - 8 + 2 = -11