Уравнения
1. Решите уравнение: 3^{7 - x} = 3

2. Решите уравнение: (x − 8)² = (x + 9)²

3. Решите уравнение: log2 (5 + 4x) = log2 (1 − 4x) + 1

4. Решите уравнение: log5 (x^{2} + 5x) = log5 (x^{2} + 9)

5. Решите уравнение: log2 (4 − x) = 7

6. Решите уравнение: x^{2} − 17x + 72 = 0

7. Решите уравнение: (2x + 7)² = (2x − 1)²

8. Решите уравнение: (5x − 8)² = (5x − 2)²

9. Решите уравнение: (x − 6)² = − 24x

10. Решите уравнение: x^{2} + 9 = (x + 9)²

Задачи
Задача №1
Докажите, что уравнение xy = 2006 (x + y) имеет решения в целых числах.

Задача №2
Докажите, что если α, β, γ — углы произвольного треугольника, то справедливо тождество cos2α + cos2β + cos2γ + 2 cosα cosβ cosγ = 1.

Задача №3
Три шара радиуса R касаются друг друга и плоскости α, четвертый шар радиуса R положен сверху так, что касается каждого из трех данных шаров. Определите высоту «горки» из четырех шаров.

Задача №4
Докажите неравенство x^{2} −2x^{3}< 1/6 на луче [1/4; + ∞).

Задача №5
В прямоугольник 20 x 25 бросают 120 квадратов 1 x 1. Докажите, что в прямоугольник можно поместить круг с диаметром, равным 1, не имеющий общих точек ни с одним из квадратов.

Имено́ванные чи́сла — действительные числа (на практике всегда заданные с конечной точностью), являющиеся значением какой-нибудь физической величины, и сопровождающиеся названием единицы измерения, например 2 кг; 3,4 м, 220 В, 1,75 А, 45°30′00′′.

Противопоставляются отвлечённым числам, то есть тем, которые не имеют единицы измерения.

По количеству входящих в числа различных единиц именованные числа делят на и составные именованное число — число, в которое входит единица только одного наименования, например, 3 кг.

Составное именованное число — число, в которое входят единицы различных наименований, например, 3 кг 300 г[1].

Именованные числа называют равными, если равны значения физической величины, выражаемые ими. Например, число 3 кг 325 г равно числу 3,325 кг[1].

Пошаговое объяснение:

Пошаговое объяснение:

Для любых целых n,

Получили произведение пяти последовательных чисел, из них обязательно кто-то делится на 5 (просто потому что остатки при делении на 5 только 0, 1, 2, 3, 4 - всего 5 штук), так же из них обязательно кто-то делится на 4 (всего 4 остатка при делении на 4: 0, 1, 2, 3) и так же делится на 3 (тоже 3 остатка: 0, 1, 2). Но среди 5 последовательных чисел есть хотя бы 2 числа, которые делятся на 2. Одно из них делится на 4, а второе добавляет ещё один множитель - 2.

Итого получаем, что исходное выражение делится и на 5, и на 4, и на 3, и на 2, при любых целых n, но тогда оно делится на 2*3*4*5 = 120  ЧТД