Так как sin2x+a2+1 > 0 при всех х и а, умножим обе части неравенства на sin2x+a2+1.
Неравенство примет вид:
a–(a2–2a–3)cosx+4 < sin2x+a2+1.
sin2x=1–cos2x;
cos2x–(a2–2a–3)cosx+2+a–a2 < 0
На [–π/3; π/2] множество значений функции у=cosx равно [0;1].
Обозначим сosx=t.
Переформулируем задачу.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых t2–(a2–2a–3)t+2+a–a2 < 0 при всех t∈[0;1]
Для выполнения этого необходимо и достаточно, чтобы квадратичная функция f(t)=t2–(a2–2a–3)t+2+a–a2 , графиком которой является парабола, ветви направлены вверх, была расположена ниже оси оси на [0;1].
Расцветали яблони и груши,
Поплыли туманы над рекой.
Выходила на берег Катюша,
На высокий берег на крутой.
Выходила на берег Катюша,
На высокий берег на крутой.
Выходила, песню заводила,
Про степного сизого орла.
Про того, которого любила,
Про того, чьи письма берегла.
Про того, которого любила,
Про того, чьи письма берегла.
Ой ты песня, песенка девичья,
Ты лети за ясным солнцем вслед
И бойцу на дальнем пограничье
От катюши передай привет
И бойцу на дальнем пограничье
От катюши передай приве
Пошаговое объяснение:
Так как sin2x+a2+1 > 0 при всех х и а, умножим обе части неравенства на sin2x+a2+1.
Неравенство примет вид:
a–(a2–2a–3)cosx+4 < sin2x+a2+1.
sin2x=1–cos2x;
cos2x–(a2–2a–3)cosx+2+a–a2 < 0
На [–π/3; π/2] множество значений функции у=cosx равно [0;1].
Обозначим сosx=t.
Переформулируем задачу.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых t2–(a2–2a–3)t+2+a–a2 < 0 при всех t∈[0;1]
Для выполнения этого необходимо и достаточно, чтобы квадратичная функция f(t)=t2–(a2–2a–3)t+2+a–a2 , графиком которой является парабола, ветви направлены вверх, была расположена ниже оси оси на [0;1].
Это условие принимает вид
{f(0) < 0
{f(1) < 0
Тогда для всех точек t∈[0;1]
будет выполняться неравенство: f(t) < 0
[a2+a+2 < 0;
{–2a2+3a+6 < 0
или
{a2–a–2 > 0; D=1+8=9 корни –1 и 2
{2a2–3a–6 > 0 D=9–4•2•(–6)=9+48=57
корни (3–√57)/4 и (3+√57)/4
__(3–√57)/4__–12(3–√57)/4
О т в е т. (–∞; (3–√57)/4)U((3+√57)/4;+∞)