При доказательстве любых тождеств, и в частности тригонометрических, обычно используют следующие 1) выражение, стоящее и одной части равенства, с тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в другой части равенства;2) выражения, стоящие в левой и правой частях тождества, с тождественных преобразований приводят к одному и тому же виду;3) доказывают, что разность между левой и правой частями данного тождества равна нулю.Поясним это на некоторых частных примерах.Пример 1. Доказать тождествоsin4α — cos4α = sin2 α — cos2 α .Используя формулу для разности квадратов двух чисел, получаем:sin4α — cos4α = (sin2α + cos2α) (sin2α — cos2α).Ho sin2α + cos2α = 1. Поэтомуsin4α — cos4α = sin2α — cos2α, что и требовалось доказать. Пример 2. Доказать тождествоЭто тождество мы будем доказывать путем преобразования выражения, стоящего в правой части Поэтому Прежде всего заметим, что ctg α =/= 0; в противном случае не имело бы смысла выражение tg α = 1/ctg α. Но если ctg α =/= 0, то числитель и знаменатель подкоренного выражения можно умножить на ctg α, не изменяя значения дроби. Следовательно,Используя тождества tg α • ctg α = 1 и 1+ ctg2α = cosec2 α , получаемПоэтому что и требовалось доказать.Замечание. Следует обратить внимание на то, что левая часть доказанного тождества (sin α) определена при всех значениях α, а правая — лишь при α =/= π/2 n.Поэтому только при всех допустимых значениях α Вообще же эти выражения не эквивалентны друг другу.Пример 3. Доказать тождествоsin (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = cos ( 2π + α ) - 3sin (π/2 - α )Преобразуем левую и правую части этого тождества, используя формулы приведения:sin (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = — cos α — cos α = — 2 cos α;cos ( 2π + α ) - 3sin (π/2 - α ) = cos α — 3 cos α = — 2 cos α.Итак, выражения, стоящие в обеих частях данного тождества, приведены к одному и тому же виду. Тем самым тождество доказано.Пример 4. Доказать тождествоsin4 α + cos4 α — 1 = — 2 sin2α cos2α.Покажем, что разность между левой и правой частями. данного тождества равна нулю. Имеем:(sin4 α + cos4 α — 1) — (— 2 sin2α cos2α) = (sin4 α + 2sin2α cos2α + cos4 α) — 1 == (sin2α + cos2α)2 — 1 = 1 — 1 = 0.Тем самым тождество доказано.Пример 5. Доказать тождество,Это тождество можно рассматривать как пропорцию. Но чтобы доказать справедливость пропорции a/b = c/d, достаточно показать, что произведение ее крайних членов ad равно произведению ее средних членов bc. Так мы поступим и в данном случае. Покажем, что (1 — sin α) (1+ sin α) = cos α • cos α.Действительно, (1 — sin α) (1 + sin α) = 1 —sin2α = cos2α.По поводу этого примера можно было бы сделать замечание, аналогичное замечанию к примеру 2 Както так:
1. Для решения задачи найдем сколько рублей стоит компьютерная игра. 159 + 114 + 87 = 360 рублей. 2. Вычислим по сколько рублей должны были сброситься ребята поровну. 360 / 3 = 120 рублей. 3. Найдем на сколько рублей должен вернуть Антону Боря, если известно, что он дал 114 рублей. 120 - 114 = 6 рублей. 4. Узнаем сколько рублей должен отдать Антону Витя, если известно, что он внес в складчину 87 рублей. 120 - 87 = 33 рубля. ответ: Антону Боря должен отдать шесть рублей, а Витя тридцать три рубля.
1) выражение, стоящее и одной части равенства, с тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в другой части равенства;2) выражения, стоящие в левой и правой частях тождества, с тождественных преобразований приводят к одному и тому же виду;3) доказывают, что разность между левой и правой частями данного тождества равна нулю.Поясним это на некоторых частных примерах.Пример 1. Доказать тождествоsin4α — cos4α = sin2 α — cos2 α .Используя формулу для разности квадратов двух чисел, получаем:sin4α — cos4α = (sin2α + cos2α) (sin2α — cos2α).Ho sin2α + cos2α = 1. Поэтомуsin4α — cos4α = sin2α — cos2α, что и требовалось доказать. Пример 2. Доказать тождествоЭто тождество мы будем доказывать путем преобразования выражения, стоящего в правой части Поэтому Прежде всего заметим, что ctg α =/= 0; в противном случае не имело бы смысла выражение tg α = 1/ctg α. Но если ctg α =/= 0, то числитель и знаменатель подкоренного выражения можно умножить на ctg α, не изменяя значения дроби. Следовательно,Используя тождества tg α • ctg α = 1 и 1+ ctg2α = cosec2 α , получаемПоэтому что и требовалось доказать.Замечание. Следует обратить внимание на то, что левая часть доказанного тождества (sin α) определена при всех значениях α, а правая — лишь при α =/= π/2 n.Поэтому только при всех допустимых значениях α Вообще же эти выражения не эквивалентны друг другу.Пример 3. Доказать тождествоsin (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = cos ( 2π + α ) - 3sin (π/2 - α )Преобразуем левую и правую части этого тождества, используя формулы приведения:sin (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = — cos α — cos α = — 2 cos α;cos ( 2π + α ) - 3sin (π/2 - α ) = cos α — 3 cos α = — 2 cos α.Итак, выражения, стоящие в обеих частях данного тождества, приведены к одному и тому же виду. Тем самым тождество доказано.Пример 4. Доказать тождествоsin4 α + cos4 α — 1 = — 2 sin2α cos2α.Покажем, что разность между левой и правой частями. данного тождества равна нулю. Имеем:(sin4 α + cos4 α — 1) — (— 2 sin2α cos2α) = (sin4 α + 2sin2α cos2α + cos4 α) — 1 == (sin2α + cos2α)2 — 1 = 1 — 1 = 0.Тем самым тождество доказано.Пример 5. Доказать тождество,Это тождество можно рассматривать как пропорцию. Но чтобы доказать справедливость пропорции a/b = c/d, достаточно показать, что произведение ее крайних членов ad равно произведению ее средних членов bc. Так мы поступим и в данном случае. Покажем, что (1 — sin α) (1+ sin α) = cos α • cos α.Действительно, (1 — sin α) (1 + sin α) = 1 —sin2α = cos2α.По поводу этого примера можно было бы сделать замечание, аналогичное замечанию к примеру 2 Както так: