Пусть лягушонок стартует в точке . Тогда, если какие-то две точки повторились, то лягушонок побывал также в точке дважды, т.е. мы попали в цикл. Если мы покажем, что уравнение имеет решение при любом , то цикл будет состоять из всех точек, и лягушонок побывает во всех точках по одному разу, а затем вернется в точку ;
Докажем для начала, что если существует решение для остатков , то существует решение для остатка . Это вполне очевидно: просто сложим два уравнения для остатков . Теперь, в частности, если существует решение для , то существует решение для всех остатков. То есть нам надо решить диофантово уравнение ; Для этого сразу положим ; Пусть ;
Тогда из числа нам нужно получить число ; Но мы умеем прибавлять единицу: . То есть ; Иными словами, получили решение , но нам нужно решение в натуральных числах. Не вопрос: добавим к 2020, а к добавим 99. Получим решение: .
Итак, план действий следующий.
Пусть мы находимся в точке . Прыгаем 41 раз на 100 и 1999 раз на 99. Теперь мы в точке . Таким образом, мы посетим все точки.
Пошаговое объяснение:
1.1 Прочертим диагональ и получим треугольник со сторонами 8,3 и углом между ними 120°
По теореме косинусов можем вычислить диагональ(третью сторону)
a²=b²+c²-2bc*cos120
a²=64+9-2*8*3*
a²=49
a=7
Диагональ равна 7
1.2 Sпараллелограмма=h*a
Проведем высоту к сторону равной 8
угол между высотой и меньшей стороной будет 120-90=30, а значит мы получаем прямоугольный треугольник с углом в 30° и гипотенузой равной 3
Следовательно сторона напротив угла в 30°=3/2=1,5
По теореме Пифагора находим высоту
9=h²+2,25
h=2,5
Sпараллелограмма=2,5*8=20
2. Тут понадобится теорема синусов
(8√2)/(sin45)=(8√3)/(sinx)
sin45=√2/2
(8√2)/(√2/2)=16 ⇒ (8√3)/(sinx)=16
sinx=(8√3)/16=√3/2
sinx=√3/2 ⇒ x=60°
∠D=60°
3. Sсектора=(πR²*α)/(360)
В правильном шестиугольнике a=R⇒R=6
α=60
Sсектора=(36*60π)/(360)
Sсектора=6π≈18,84
4. АВ=√18
BC=√((-1-(-5))²+(-5-(-1))²)=√32
СD=√18
AD=√((2-(-2)²+(-2-2)²)=√32
Из этих вычислений следует то, что ABCD параллелограмм
Если AC²=AB²+BC²=AD²+CD² ,то ABCD прямоугольник
AC=√50
(√50)²=(√18)²+(√32)²
50=18+32⇒ABCD прямоугольник
5. Уравнение окружности это
(x-xцентра)²+(y-yцентра)²=R²
(x+7)²+(y-1)²=81
Центр окружности в точке (-7;1); R=9
При параллельном переносе на {3;-8} центр окажется в точке (-4;-7); радиус не изменится, значит уравнение будет выглядить вот так
(x+4)²+(y+7)²=81
Пусть лягушонок стартует в точке
. Тогда, если какие-то две точки повторились, то лягушонок побывал также в точке 
дважды, т.е. мы попали в цикл. Если мы покажем, что уравнение 
имеет решение при любом 
, то цикл будет состоять из всех точек, и лягушонок побывает во всех точках по одному разу, а затем вернется в точку 
;
Докажем для начала, что если существует решение для остатков
, то существует решение для остатка 
. Это вполне очевидно: просто сложим два уравнения для остатков 
. Теперь, в частности, если существует решение для 
, то существует решение для всех остатков. То есть нам надо решить диофантово уравнение 
; Для этого сразу положим 
; Пусть 
;
Тогда из числа
нам нужно получить число 
; Но мы умеем прибавлять единицу: 
. То есть 
; Иными словами, получили решение 
, но нам нужно решение в натуральных числах. Не вопрос: добавим к 
2020, а к 
добавим 99. Получим решение: 
.
Итак, план действий следующий.
Пусть мы находимся в точке
. Прыгаем 41 раз на 100 и 1999 раз на 99. Теперь мы в точке 
. Таким образом, мы посетим все точки.