Відомо що
х/у=3, Знайдіть значення дробу
х(в квадрате)+2ху/ху

1) Определяем векторы А1А2 и А1А4:
А1А2 =(7-2=5; 6-4=2; 3-3=0) = (5; 2; 0),
А1А4 = (3-2=1; 6-4=2; 7-3=4) =(1; 2; 4).
Угол между рёбрами А1А2 и А1А4:
=1,197487 радиан = 68,61098 градуса.

2) площадь грани А1 А2 А3:
Площадь треугольника образованного векторами a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов.
Вектор А1А2  найден.
Находим вектор А1А3: = (4-2=2; 9-4=5; 3-3=0) = (2; 5; 0).
S = (1/2)*|a × b|.
c =a × b =   (2·0 - 0·5) -  (5·0 - 0·2) +  (5·5 - 2·2) =  =  (0 - 0) -  (0 - 0) + 
+ (25 - 4) = {0; 0; 21}
|a x b| = √(cx² + cy² + cz²) = √(0² + 0² + 21²) = √(0 + 0 + 441) = √441 = 21.
Найдем площадь треугольника:S = (1/2)*21 = 10.5.

3) Проекция вектора А1А3 на вектор А1А4.
Пр ba = (a · b)/|b|
Найдем скалярное произведение векторов :a · b = ax · bx + ay · by + az · bz =
 5 · 1 + 2 · 2 + 0 · 4 = 5 + 4 + 0 = 9
Найдем модуль вектора :|b| = √(bx² + by² + bz²) = √(1² + 2² + 4²) = 
√(1 + 4 + 16) = √21
Пр ba = 9/√21 = 3√21/7 ≈ 1.963961.

4) Объём пирамиды.
Объем пирамиды равен:  (AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AS{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3
Находим третий вектор :
AS = {Sx - Ax; Sy - Ay; Dz - Az} = {3 - 2; 6 - 4; 7 - 3} = {1; 2; 4}.
V = (1/6)|AB · [AC × AD]|.
Находим смешанное произведение векторов:
AB · (AC × AS) = 5·5·4 + 2·0·1 + 0·2·2 - 0·5·1 - 2·2·4 - 5·0·2 = 100 + 0 + 0 - 0 - 16 - 0 = 84
Найдем объем пирамиды: V = (1/6)·84 = 14.

Даны координаты вершин пирамиды:

A1(4; 7; 8), A2(-1; 3; 0) , A3(2; 4; 9) , A4(1; 8; 9).

Находим:

1. Длину ребра А1А2.

Вектор А1А2 = (-1-4; 3-7; 0-8) = (-5; -4; -8).

|A1A2| = √((-5²) + (-4)² + (-8)²) =   √(25 + 16 + 64) = √ 105.

2. Угол между ребрами А1А2 и А1А4.

Вектор А1А2 = (-5; -4; -8), |A1A2| = √ 105 (см.п.1).

Находим вектор А1А4 = (1-4; 8-7; 9-8) = (-3; 1; 1) и его модуль:

|A1A4| =  √(9 + 1 + 1) = √ 11.

cos (A1A2_A1A4) = (-5)*(-3)+(-4)*1+(-8)*1)/(√ 105*√ 11) = 3/√ 1155 ≈ 3/33,98529.

Угол равен 0,088273 радиан или  1,4824078 градуса.

3. Площадь грани А1А2А3.

Вектор А1А2 = (-5; -4; -8) (см.п.1).

Находим вектор А1А3 =  A3(2,4,9) - A1(4,7,8) = (-2; -3; 1).

Площадь равна половине модуля векторного произведения А1А2 на А1А3.

 i         j        k|        i          j

-5       -4      -8|      -5       -4

-2      -3         1|       -2      -3  = -4i + 16j + 15k + 5j - 24i - 8k =

                                            = -28i + 21j + 7k = (-28; 21; 7).  

S = (1/2)√((-28)² + 21² + 7²) =  (1/2)√(784 + 441 + 49) = (1/2)√1274 =

= (1/2)*7√26 = (7/2)√26 ≈ 17,846568 кв.ед.

4. Объем пирамиды V = (1/6)*[A1A2xA1A3]*A1A4 =

= (1/6)* (-28; 21; 7)*(-3; 1; 1) = (1/6)*(84 +21 + 7) = 112/6 = 56/3 ≈ 18,6667  куб.ед.

 5. Длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3;

H = 3V/S(A1A2A3) = 3*(56/3)/((7/2)√26) = 56√26/91 ≈ 3,137858.

6. Уравнение ребра А1А4.

Точка A1(4; 7; 8), вектор А1А4 = (-3; 1; 1), его модуль √(9+1+1) =√11.

Уравнение А1А4: (x - 4)/(-3) = (y - 7)/1 = (z - 8)/1.

7. Уравнение плоскости А1А2А3.

Используя найденное векторное произведение А1А2 на А1А3:

-28x + 21y + 7z - 91 = 0   или, сократив на (-7):

4x - 3y - z + 13 = 0.

8. Угол между ребром А1А4 и плоскостью А1А2А3;

Вектор А1А4 = (-3; 1; 1), модуль √11.

Вектор плоскости (-28;21; 7), модуль √1274.

sin a = |-3*-28+1*21+1*7)/(√11*√1274) = 0,9460998.

Угол равен 1,240974 радиан или 71,10256 градуса.