В двух бочках было одинаковое количество литров воды. Когда из первой бочки вылели 10 литров, а из второй-28 литров, то в первой стало в 4 раза больше литров чем в второй. Сколько литров воды было в каждой бочке в начале.
Чтобы её найти, надо составить уравнение плоскости ABC и уравнение высоты, проведённой к ней, то есть найти точку пересечения прямой (высоты) и плоскости.
Направляющий вектор высоты - нормаль плоскости ABC.
Находим уравнение плоскости и её нормальный вектор.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
Нормальный вектор этой плоскости равен (-8; 4; -2) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.
Получаем уравнение перпендикуляра из точки D(2; 2; 4).
((x - 2)/(-8) = (y - 2)/4 = ((z – 4)/(-2).
Координаты, которые имеет точка М пересечения x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:
{((x - 2)/(-8) = (y - 2)/4 = ((z – 4)/(-2).
{-8x + 4y - 2z = 0.
Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.
4x - 8 = -8y + 16, отсюда y = (-1/2)x + 3.
-2x + 4 = -8z + 32, отсюда z = (1/4)x + (7/2).
Подставим их в уравнение плоскости.
-8x + 4*((-1/2)x + 3) – 2*((1/4)x + 7/2)) = 0,
-8x - 2x + 12 - (1/2)x – 7 = 0,
(-21/2)x = -5,
x = 10/21,
y = (-1/2)*(10/21) + 3 = 58/21.
z = (1/4)*(10/21) + (7/2) = 76/21.
Найдена точка M пересечения перпендикуляра из точки D с плоскостью A1BC.
Это проекция точки D на плоскость АBC.
M((10/21); (58/21); (76/21)).
е) Находим расстояние от точки D (2; 2; 4) до прямой АВ.
После того как из вазочки забрали 6 конфет и еще половину от оставшихся, в вазочке осталась вторая половина от оставшихся ( после отбора 6 конфет ). По условиям задачи это составляет 1/3 от общего числа конфет. Следовательно после отбора 6 конфет в вазочке осталось 2/3 от общего количества и значит 1/3 составляет 6 конфет.
Даны координаты вершин пирамиды:
A(0; 1; 2), B(-1; 0; 4), C(1; 4; 4), D(2; 2; 4).
д) Проведена высота DM, найти координаты точки M.
Точка M - это проекция точки D на плоскость ABC.
Чтобы её найти, надо составить уравнение плоскости ABC и уравнение высоты, проведённой к ней, то есть найти точку пересечения прямой (высоты) и плоскости.
Направляющий вектор высоты - нормаль плоскости ABC.
Находим уравнение плоскости и её нормальный вектор.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x – 0 y – 1 z - 2
-1 – 0 0 – 1 4 - 2
1 – 0 4 - 1 4 – 2 = 0
x – 0 y – 1 z – 2 | x – 0 y – 1
-1 -1 2 | -1 -1
1 3 2 | 1 3 =
= (x - 0)*(-2) + (y - 1)*2 + (z - 2)*(-3) – (y - 1)*(-2) – (x - 0)*6 – (z - 2)*(-1) =
= -2x + 2y - 2 - 3z + 6 + 2y - 2 - 6x + z - 2 =
= -8x + 4y - 2z = 0.
Нормальный вектор этой плоскости равен (-8; 4; -2) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.
Получаем уравнение перпендикуляра из точки D(2; 2; 4).
((x - 2)/(-8) = (y - 2)/4 = ((z – 4)/(-2).
Координаты, которые имеет точка М пересечения x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:
{((x - 2)/(-8) = (y - 2)/4 = ((z – 4)/(-2).
{-8x + 4y - 2z = 0.
Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.
4x - 8 = -8y + 16, отсюда y = (-1/2)x + 3.
-2x + 4 = -8z + 32, отсюда z = (1/4)x + (7/2).
Подставим их в уравнение плоскости.
-8x + 4*((-1/2)x + 3) – 2*((1/4)x + 7/2)) = 0,
-8x - 2x + 12 - (1/2)x – 7 = 0,
(-21/2)x = -5,
x = 10/21,
y = (-1/2)*(10/21) + 3 = 58/21.
z = (1/4)*(10/21) + (7/2) = 76/21.
Найдена точка M пересечения перпендикуляра из точки D с плоскостью A1BC.
Это проекция точки D на плоскость АBC.
M((10/21); (58/21); (76/21)).
е) Находим расстояние от точки D (2; 2; 4) до прямой АВ.
Вектор АВ = (-1-0; 0-1; 4-2) = (-1; -1; 2).
Пусть:
s = -1; -1; 2 - направляющий вектор прямой;
M1 = 0; 1; 2 - точка А, лежащая на прямой.
Тогда
M0M1 = {M1x - M0x; M1y - M0y; M1z - M0z} = 0 - 2; 1 - 2; 2 - 4 = -2; -1; -2
Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах M0M1 и s:
S = |M0M1 × s|
M0M1 × s = i j k
-2 -1 -2
-1 -1 2 =
= i (-1·2 - (-2)·(-1))- j (-2·2 - (-2)·(-1)) + k (-2·(-1) - (-1)·(-1)) =
= i( -2 – 2) - j (-4 – 2) + k (2 - 1) =
= -4; 6; 1.
Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):
d = |M0M1×s|/|s| = √((-4)² + 6² + 1²)/√((-1)² + (-1)² + 2²) = √53/√6 = √318/6 ≈ 2.972.
ж) Находим точку пересечения прямой DC с плоскостью Oyz (её уравнение х = 0).
Вектор DC = (1-2; 4-2; 4-4) = (-1; 2; 0).
Уравнение DC: (x – 2)/(-1) = (y – 2)/2 = (z – 4)/0.
По условию координата х = 0.
Получаем из уравнения прямой:
-2/-1 = (y – 2)/2, отсюда у = 2*2 + 2 = 6.
z – 4 = 0, отсюда z = 4.
Точка пересечения (0; 6; 4).
Відповідь:
В вазочке осталось 6 конфет.
Покрокове пояснення:
После того как из вазочки забрали 6 конфет и еще половину от оставшихся, в вазочке осталась вторая половина от оставшихся ( после отбора 6 конфет ). По условиям задачи это составляет 1/3 от общего числа конфет. Следовательно после отбора 6 конфет в вазочке осталось 2/3 от общего количества и значит 1/3 составляет 6 конфет.
Проверка:
Было 18 конфет.
Забрали 6 конфет, осталось 18 - 6 = 12 конфет.
Забрали 1/2 от оставшихся 12 × 1/2 = 6 конфет.
Осталось 12 - 6 = 6 конфет.
Это 18 / 6 = 1/3 от общего количества конфет.
Все правильно.