В городском этапе олимпиады «Алтын сака» 6 учеников набрали такое же количество и стали победителями. Сколько существует вариантов отправки 2 из этих 6 учеников на республиканский этап олимпиады? *
Если расстояние между Ахиллесом и черепахой за время движения сократилось в 9 раз и в конце оставалось еще 6 метров, значит в начале погони расстояние составляло 6 × 9 = 54 метра. Следовательно за время погони расстояние сократилось на 54 - 6 = 48 метров.
Поскольку скорость Ахиллеса в 17 раз больше скорости черепахи, то за то время пока черепаха преодолеет 1 метр Ахиллес пробежит 17 метров. Значит за каждый такой интервал времени расстояние между Ахиллесом и черепахой сокращается на 17 - 1 = 16 метров.
Поскольку за время погони расстояние сократилось на 48 метров, то таких интервалов было 48 / 16 = 3.
Значит за время погони черепаха преодолела расстояние в 3 метра, а Ахиллес пробежал 3 × 17 = 51 метр.
Проверка:
В начале погони расстояние между Ахиллесом и черепахой составляло 54 метра.
Ахиллес пробежал 3 × 17 = 51 метр.
Черепаха преодолела расстояние в 3 метра.
В конце погони, когда черепаха остановилась расстояние до Ахиллеса составляло 54 - 51 + 3 = 6 метров.
Назовем множество девочек , а множество мальчиков -- . Социальную группу назовем примитивной, если удаление любого мальчика из нее сделает группу не социальной. Тем самым, всякая социальная группа порождена некоторой примитивной. Пусть -- число продолжений примитивной социальной группы . Ясно, что , поскольку объединение любого подмножества с социальной группой дает социальную группу. Количество социальных групп тем самым равно , где -- число продолжений социальной группы . В самом деле, когда мы считаем число продолжений, мы не должны забывать, что у двух примитивных социальных групп может быть одинаковое продолжение. Если продолжения групп и совпадают, то они обязательно содержат . Договоримся называть пустое множество примитивной социальной группой. Тогда если в первой сумме для некоторого , то перенесем это значение (без ущерба для четности) во вторую сумму, считая эту величину числом продолжений группы . Имеем тогда: первая сумма есть четное число, а слагаемое во второй сумме является нечетным тогда и только тогда, когда .
Утверждение: число пар примитивных множеств и таких, что имеет ту же четность, что и количество пар аналогичных множеств для .
Доказательство: в качестве доказательства можно посмотреть на иллюстрацию, где, например, и -- социальные. Теперь построим естественное соответствие. Из каждой вершины отметим ненулевое количество красных и синих ребер (иногда одно ребро красится двумя цветами). Тогда "образы" точек под действием красных ребер дадут социальную группу, скажем, , а под действием синих -- (причем ). Теперь сотрем цвета и сделаем аналогичную раскраску, но для множества (то есть для ребер, исходящих из множества мальчиков). Здесь уже будет гарантироваться, что объединение социальных групп в множестве девочек будет давать . Количество таких раскрасок -- четное число (в вершинах степени не меньше число вариантов четно; случай, когда таких нет рассмотрим отдельно), а потому общее число пар четно. Симметрично рассматривается количество пар в . Ключевое здесь то, что оба множества покрывают друг друга ребрами.
Если все степени вершин равны (например, в ), то имеется единственный случай: когда берется объединение и пустого множества. Но ребра из накрывают (поскольку ребер нулевой степени нет), а потому и в есть такая пара. ∵
Получили, что четность совпадает в обоих множествах, а значит, совпадает и четность всей суммы.
прощения, что так мудрено. Если что, отвечу на вопросы.
Відповідь:
Черепаха преодолела расстояние в 3 метра.
Покрокове пояснення:
Если расстояние между Ахиллесом и черепахой за время движения сократилось в 9 раз и в конце оставалось еще 6 метров, значит в начале погони расстояние составляло 6 × 9 = 54 метра. Следовательно за время погони расстояние сократилось на 54 - 6 = 48 метров.
Поскольку скорость Ахиллеса в 17 раз больше скорости черепахи, то за то время пока черепаха преодолеет 1 метр Ахиллес пробежит 17 метров. Значит за каждый такой интервал времени расстояние между Ахиллесом и черепахой сокращается на 17 - 1 = 16 метров.
Поскольку за время погони расстояние сократилось на 48 метров, то таких интервалов было 48 / 16 = 3.
Значит за время погони черепаха преодолела расстояние в 3 метра, а Ахиллес пробежал 3 × 17 = 51 метр.
Проверка:
В начале погони расстояние между Ахиллесом и черепахой составляло 54 метра.
Ахиллес пробежал 3 × 17 = 51 метр.
Черепаха преодолела расстояние в 3 метра.
В конце погони, когда черепаха остановилась расстояние до Ахиллеса составляло 54 - 51 + 3 = 6 метров.
Все правильно.
Назовем множество девочек
, а множество мальчиков --
. Социальную группу назовем примитивной, если удаление любого мальчика из нее сделает группу не социальной. Тем самым, всякая социальная группа порождена некоторой примитивной. Пусть
-- число продолжений примитивной социальной группы
. Ясно, что
, поскольку объединение любого подмножества с социальной группой дает социальную группу. Количество социальных групп тем самым равно
, где
-- число продолжений социальной группы
. В самом деле, когда мы считаем число продолжений, мы не должны забывать, что у двух примитивных социальных групп может быть одинаковое продолжение. Если продолжения групп
и
совпадают, то они обязательно содержат
. Договоримся называть пустое множество примитивной социальной группой. Тогда если в первой сумме
для некоторого
, то перенесем это значение (без ущерба для четности) во вторую сумму, считая эту величину числом продолжений группы
. Имеем тогда: первая сумма есть четное число, а слагаемое во второй сумме является нечетным тогда и только тогда, когда
.
Утверждение: число пар примитивных множеств
и
таких, что
имеет ту же четность, что и количество пар аналогичных множеств для
.
Доказательство: в качестве доказательства можно посмотреть на иллюстрацию, где, например,
и
-- социальные. Теперь построим естественное соответствие. Из каждой вершины отметим ненулевое количество красных и синих ребер (иногда одно ребро красится двумя цветами). Тогда "образы" точек под действием красных ребер дадут социальную группу, скажем,
, а под действием синих --
(причем
). Теперь сотрем цвета и сделаем аналогичную раскраску, но для множества
(то есть для ребер, исходящих из множества мальчиков). Здесь уже будет гарантироваться, что объединение социальных групп в множестве девочек будет давать
. Количество таких раскрасок -- четное число (в вершинах степени не меньше
число вариантов четно; случай, когда таких нет рассмотрим отдельно), а потому общее число пар четно. Симметрично рассматривается количество пар в
. Ключевое здесь то, что оба множества покрывают друг друга ребрами.
Если все степени вершин равны
(например, в
), то имеется единственный случай: когда берется объединение
и пустого множества. Но ребра из
накрывают
(поскольку ребер нулевой степени нет), а потому и в
есть такая пара. ∵
Получили, что четность
совпадает в обоих множествах, а значит, совпадает и четность всей суммы.
прощения, что так мудрено. Если что, отвечу на вопросы.