В городском парке, имеющем форму квадрата со стороной a, установлены две осветительные установки A и B, расположенные в противолежащих вершинах этого квадрата (см. рисунок). Устройство этих установок таково, что наилучшая освещенность на поверхности парка достигается в точках, отстоящих в два раза дальше от установки A, чем от установки B. Через все такие точки проложили пешеходную дорожку.
В местах пересечения этой дорожки со сторонами квадрата расположены входы в парк. Пусть сторона квадрата равна - 54*(sqrt(7)+1) м. Тогда расстояние от установки B до ближайшего такого входа равно м.
Разложим сумму кубов:
(3x^2)^3 + (4a-2x)^3 = (3x^2 + 4a - 2x)((3x^2)^2 - 3x^2*(4a-2x) + (4a-2x)^2)
Вынесем за скобки:
6x^2 + 8a - 4x = 2(3x^2 + 4a - 2x)
Выносим за скобки общий множитель:
(3x^2-2x+4a)(9x^4 - 3x^2*(4a-2x) + (4a-2x)^2 + 2) = 0
Нетрудно доказать, что вторая скобка корней не имеет:
9x^4 - 3x^2*(4a-2x) + (4a-2x)^2 + 2 = |3x^2 = m, 4a-2x = n| =
= m^2 - mn + n^2 + 2 = n^2*[(m/n)^2 - (m/n) + 1] + 2
Найдем дискриминант трехчлена в квадратных скобках.
D = (-1)^2 - 4*1*1 = 1 - 4 = -3 < 0
То есть, квадратная скобка и так корней не имеет, она всегда положительна, а ее еще умножили на квадрат числа, и еще прибавили 2.
Таким образом, мы доказали, что вторая скобка > 0 при любых а и x.
Значит, остается решить уравнение в первой скобке.
3x^2 - 2x + 4a = 0
D = (-2)^2 - 4*3*4a = 4 - 48a = 4(1 - 16a)
Чтобы это уравнение не имело корней, должно быть D < 0
1 - 16a < 0
a > 1/16
AB = AC = BC = AS = BS = CS = 2
OF = 1/4*OS
Центр основания пирамиды О - это центр равностороннего тр-ка АВС.
CM - медиана, она же биссектриса и высота тр-ка АВС.
AM = AB/2 = 1, CM = √(AC^2 - AM^2) = √(2^2 - 1^2) = √(4 - 1) = √3
MO = 1/3*CM = √3/3; OA = OC = 2/3*CM = 2√3/3
OS = √(CS^2 - OC^2) = √(4 - 4*3/9) = √((36-12)/9) = √24/3 = 2√6/3
OF = 1/4*OS = 2√6/12 = √6/6
И наконец находим угол между плоскостью MBF = ABF и ABC.
tg(OMF) = OF/MO = (√6/6) / (√3/3) = √6/6 * 3/√3 = √6/(2√3) = √2/2
OMF = arctg (√2/2)