В городском парке, имеющем форму квадрата со стороной a, установлены две осветительные установки A и B, расположенные в противолежащих вершинах этого квадрата (см. рисунок). Устройство этих установок таково, что наилучшая освещенность на поверхности парка достигается в точках, отстоящих в два раза дальше от установки A, чем от установки B. Через все такие точки проложили пешеходную дорожку.
В местах пересечения этой дорожки со сторонами квадрата расположены входы в парк. Пусть сторона квадрата равна - 54*(sqrt(7)+1) м. Тогда расстояние от установки B до ближайшего такого входа равно м.
Дано:
- Форма городского парка - квадрат со стороной "a".
- Установки A и B находятся в противолежащих вершинах квадрата.
- Осветление наилучшее в точках, отстоящих в два раза дальше от установки A, чем от установки B.
- Пешеходная дорожка проходит через все такие точки.
- Сторона квадрата равна 54 * (корень квадратный из 7 + 1) м.
- Расстояние от установки B до ближайшего входа равно "m".
Так как осветление наилучшее в точках, которые находятся в два раза дальше от установки A, чем от установки B, мы можем разделить площадь парка на две прямоугольные зоны относительно осветительных установок A и B.
Мы знаем, что сторона квадрата равна 54 * (корень квадратный из 7 + 1) м, поэтому сторона квадрата "a" равна (54 * (корень квадратный из 7 + 1)) / 4 м, так как у нас есть две осветительные установки А и В.
Пусть расстояние от установки B до ближайшего входа равно "m".
Теперь мы можем построить два прямоугольника с расстоянием "x" от установки A и "2x" от установки B.
Площадь первого прямоугольника равна (a - 2x) * 2x, где "x" - это расстояние от установки A.
Площадь второго прямоугольника равна (2x) * (a - x), где "2x" - это расстояние от установки B.
Так как выход из парка находится в точке пересечения дорожки и стороны квадрата, мы можем сказать, что площадь первого и второго прямоугольников суммируется и равна площади всего квадрата.
То есть, (a - 2x) * 2x + (2x) * (a - x) = a^2.
Мы можем раскрыть скобки и упростить уравнение, получив -4x^2 + 4ax + 2ax - x^2 = a^2.
Затем, объединяя подобные члены, получим -5x^2 + 6ax = a^2.
Теперь мы можем выразить "x" через "a" и решить уравнение.
-5x^2 + 6ax - a^2 = 0.
Решим данное квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта.
D = (6a)^2 - 4 * (-5) * (-a^2) = 36a^2 + 20a^2 = 56a^2.
Теперь находим корни уравнения:
x = (-6a ± √(56a^2)) / 2(-5) = (-6a ± 2a√14) / -10 = a(3 ± √14) / 5.
Так как "x" не может быть отрицательным, выбираем положительное значение:
x = a(3 + √14) / 5.
Обратим внимание, что расстояние от установки B до ближайшего входа должно быть равно "m".
Теперь заменяем "x" на (a(3 + √14) / 5) и находим значение "m":
m = 2 * (a(3 + √14) / 5) = 2a(3 + √14) / 5 = 6a + 2a√14 / 5.
Таким образом, расстояние от установки B до ближайшего входа равно 6a + 2a√14 / 5.