В июле 2021-го года планируется взять кредит на сумму 2.5 млн рублей. Известно, что банк каждый год увеличивает сумму долга на r процентов, после чего происходит платёж. Кредит был полностью погашен за 2 года. Найдите r, если первый платёж составил 1.5 млн. рублей, а второй - 1.8 млн. рублей.
Шаг 1: Общая сумма кредита
Из условия задачи известно, что сумма кредита составляет 2.5 миллиона рублей.
Шаг 2: Определение r
Для решения задачи нам нужно найти значение r. Здесь нам поможет формула экспоненциального роста:
A = P(1 + r)^t,
где A - итоговая сумма долга, P - начальная сумма долга, r - процент увеличения суммы долга, t - количество лет.
В нашей задаче итоговая сумма долга должна быть равна 0, так как кредит полностью погашается. Первоначальная сумма долга составляет 2.5 миллиона рублей (P = 2.5). Заданы также первый и второй платежи, которые составляют 1.5 миллиона рублей и 1.8 миллиона рублей соответственно.
Подставим значения в формулу:
0 = 2.5(1 + r)^2 - 1.5(1 + r) - 1.8
Шаг 3: Решение уравнения
Раскроем скобки и проведем необходимые алгебраические операции:
0 = 2.5(1 + 2r + r^2) - 1.5(1 + r) - 1.8
0 = 2.5 + 5r + 2.5r^2 - 1.5 - 1.5r - 1.8
Упростим выражение:
0 = 2.5r^2 + 3.5r - 5.8
Теперь, чтобы найти значение r, мы должны решить полученное квадратное уравнение. Для этого воспользуемся квадратными корнями или формулой дискриминанта.
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Для нахождения значений r воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac,
где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.
В нашем случае:
a = 2.5, b = 3.5, c = -5.8.
Вычислим значение дискриминанта:
D = 3.5^2 - 4(2.5)(-5.8)
D = 12.25 + 58
D = 70.25
Теперь решим квадратное уравнение:
r1,2 = (-b ± √D) / (2a)
r1,2 = (-3.5 ± √70.25) / (2 * 2.5)
r1,2 = (-3.5 ± 8.38) / 5
Таким образом, у нас два значения для r:
r1 = (-3.5 + 8.38) / 5 = 0.776
r2 = (-3.5 - 8.38) / 5 = -2.176
Шаг 5: Ответ
Мы нашли два значения для r: 0.776 и -2.176. Однако, в контексте этой задачи, значение процента не может быть отрицательным, поэтому исключаем значение -2.176.
Таким образом, значение r составляет 0.776 или около 0.78 максимально упрощенно.