В классе конечное число девочек и мальчиков. Некоторые мальчики и девочки дружат между собой. Назовём группу мальчиков "социальной", если каждая девочка дружит хотя бы с одним мальчиком из группы. Аналогично, назовём группу девочек "социальной", если каждый мальчик дружит хотя бы с одной девочкой из группы. Докажите, что количество социальных групп мальчиков имеет ту же чётность, что и количество социальных групп девочек.

Назовем множество девочек , а множество мальчиков -- . Социальную группу назовем примитивной, если удаление любого мальчика из нее сделает группу не социальной. Тем самым, всякая социальная группа порождена некоторой примитивной. Пусть -- число продолжений примитивной социальной группы . Ясно, что , поскольку объединение любого подмножества с социальной группой дает социальную группу. Количество социальных групп тем самым равно  , где -- число продолжений социальной группы . В самом деле, когда мы считаем число продолжений, мы не должны забывать, что у двух примитивных социальных групп может быть одинаковое продолжение. Если продолжения групп и совпадают, то они обязательно содержат . Договоримся называть пустое множество примитивной социальной группой. Тогда если в первой сумме для некоторого , то перенесем это значение (без ущерба для четности) во вторую сумму, считая эту величину числом продолжений группы . Имеем тогда: первая сумма есть четное число, а слагаемое во второй сумме является нечетным тогда и только тогда, когда .

Утверждение: число пар примитивных множеств и таких, что имеет ту же четность, что и количество пар аналогичных множеств для .

Доказательство: в качестве доказательства можно посмотреть на иллюстрацию, где, например, и -- социальные. Теперь построим естественное соответствие. Из каждой вершины отметим ненулевое количество красных и синих ребер (иногда одно ребро красится двумя цветами). Тогда "образы" точек под действием красных ребер дадут социальную группу, скажем, , а под действием синих -- (причем ). Теперь сотрем цвета и сделаем аналогичную раскраску, но для множества (то есть для ребер, исходящих из множества мальчиков). Здесь уже будет гарантироваться, что объединение социальных групп в множестве девочек будет давать . Количество таких раскрасок -- четное число (в вершинах степени не меньше число вариантов четно; случай, когда таких нет рассмотрим отдельно), а потому общее число пар четно. Симметрично рассматривается количество пар в . Ключевое здесь то, что оба множества покрывают друг друга ребрами.

Если все степени вершин равны (например, в ), то имеется единственный случай: когда берется объединение и пустого множества. Но ребра из накрывают (поскольку ребер нулевой степени нет), а потому и в есть такая пара.                                       ∵

Получили, что четность совпадает в обоих множествах, а значит, совпадает и четность всей суммы.

прощения, что так мудрено. Если что, отвечу на вопросы.