в квадрат 4 на 4 вписаны числа. андрей заметил, что в каждой домино сумма цифр или меньше 5, или не менее 14. Докажите, что какая то цифра встретится не менее 4 раз
Итак, у нас есть квадрат размером 4 на 4, внутри которого расположены числа. Нам нужно доказать, что какая-то цифра встретится не менее 4 раз.
Для решения этой задачи мы воспользуемся принципом Дирихле, который гласит: "Если n+1 объектов размещены в n ящиках (или отсеках), то хотя бы в одном ящике будет находиться два и более объектов".
Давайте посмотрим на все возможные суммы цифр, которые могут быть в домино: от минимально возможной до максимально возможной.
Минимальная возможная сумма цифр составляет 0+1=1. Это получается, когда оба числа в домино равны 0. Максимальная возможная сумма цифр составляет 9+9=18. Это получается, когда оба числа в домино равны 9.
Из условия задачи мы знаем, что сумма цифр в домино может быть меньше 5 или не менее 14. Отсюда следует, что все возможные суммы цифр в домино могут быть равны: 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16, 17, 18.
Так как у нас всего 9 возможных сумм цифр, а домино находится внутри квадрата размером 4 на 4 (всего 16 ячеек), по принципу Дирихле как минимум две ячейки должны иметь одинаковую сумму цифр.
Давайте сделаем предположение, что все ячейки имеют разные суммы цифр. Начнем заполнять квадрат случайными числами, начиная с угла. Если мы заполняем последнюю ячейку, и все 15 предыдущих ячеек имеют разные суммы цифр, то мы можем выбрать только одно число для последней ячейки, чтобы сохранить условие уникальности всех сумм цифр.
Теперь давайте рассмотрим следующие четыре ячейки. Если у них всех разные суммы цифр, то мы должны выбрать уникальное число для каждой ячейки, чтобы сохранить условие уникальности всех сумм цифр. Но мы уже знаем, что у нас есть минимум две ячейки с одинаковыми суммами цифр, так что это противоречие.
Следовательно, все предположение о том, что все ячейки имеют разные суммы цифр - неверно. Это означает, что должна быть хотя бы одна сумма цифр, которая повторяется по крайней мере 4 раза.
Таким образом, мы доказали, что какая-то цифра встретится не менее 4 раз в данном квадрате 4 на 4.
Я надеюсь, что мой ответ был понятен и полезен для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, сообщите мне.
Итак, у нас есть квадрат размером 4 на 4, внутри которого расположены числа. Нам нужно доказать, что какая-то цифра встретится не менее 4 раз.
Для решения этой задачи мы воспользуемся принципом Дирихле, который гласит: "Если n+1 объектов размещены в n ящиках (или отсеках), то хотя бы в одном ящике будет находиться два и более объектов".
Давайте посмотрим на все возможные суммы цифр, которые могут быть в домино: от минимально возможной до максимально возможной.
Минимальная возможная сумма цифр составляет 0+1=1. Это получается, когда оба числа в домино равны 0. Максимальная возможная сумма цифр составляет 9+9=18. Это получается, когда оба числа в домино равны 9.
Из условия задачи мы знаем, что сумма цифр в домино может быть меньше 5 или не менее 14. Отсюда следует, что все возможные суммы цифр в домино могут быть равны: 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16, 17, 18.
Так как у нас всего 9 возможных сумм цифр, а домино находится внутри квадрата размером 4 на 4 (всего 16 ячеек), по принципу Дирихле как минимум две ячейки должны иметь одинаковую сумму цифр.
Давайте сделаем предположение, что все ячейки имеют разные суммы цифр. Начнем заполнять квадрат случайными числами, начиная с угла. Если мы заполняем последнюю ячейку, и все 15 предыдущих ячеек имеют разные суммы цифр, то мы можем выбрать только одно число для последней ячейки, чтобы сохранить условие уникальности всех сумм цифр.
Теперь давайте рассмотрим следующие четыре ячейки. Если у них всех разные суммы цифр, то мы должны выбрать уникальное число для каждой ячейки, чтобы сохранить условие уникальности всех сумм цифр. Но мы уже знаем, что у нас есть минимум две ячейки с одинаковыми суммами цифр, так что это противоречие.
Следовательно, все предположение о том, что все ячейки имеют разные суммы цифр - неверно. Это означает, что должна быть хотя бы одна сумма цифр, которая повторяется по крайней мере 4 раза.
Таким образом, мы доказали, что какая-то цифра встретится не менее 4 раз в данном квадрате 4 на 4.
Я надеюсь, что мой ответ был понятен и полезен для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, сообщите мне.