В одном городе Среднего Запада 50% населения предпочли бы более строгий контроль за огнестрельным оружием, 30% — более слабый контроль
и 20% хотели бы сохранить существующее положение вещей. Для опроса
выбрано случайным образом 12 человек. Каковы вероятности того, что: а) все
хотят усилить контроль; б) половина о хотят усилить, в) половина
— ослабить контроль; в) равные количества о предпочитают три
альтернативы?
а) Нам нужно определить вероятность того, что все 12 выбранных людей хотят усилить контроль за огнестрельным оружием.
Вероятность того, что один случайно выбранный человек хочет усилить контроль, составляет 50%. Так как выборки были сделаны независимо друг от друга, мы можем умножить вероятности каждого события для получения вероятности всего события. В данном случае, вероятность для каждого человека составляет 0.5, поэтому вероятность для всех 12 человек составит:
P(все хотят усилить контроль) = (0.5)^12 = 0.00024414
То есть вероятность того, что все 12 выбранных людей хотят усилить контроль составляет 0.024%.
б) Мы должны определить вероятность того, что ровно половина (6) выбранных людей хотят усилить контроль.
Для этого мы можем воспользоваться биномиальным распределением, где n - общее количество испытаний (12), k - количество успехов (6), а p - вероятность успеха (0.5).
P(ровно 6 хотят усилить контроль) = C(12, 6) * (0.5)^6 * (0.5)^6 = 924 * 0.015625 * 0.015625 = 0.13694
То есть вероятность того, что ровно половина выбранных людей хотят усилить контроль составляет приблизительно 13.7%.
в) Нам нужно определить вероятность того, что ровно половина (6) выбранных людей хотят ослабить контроль.
Для этого мы можем использовать ту же формулу, но при этом изменить вероятность успеха на 0.3 (вероятность, что один случайно выбранный человек хочет ослабить контроль).
P(ровно 6 хотят ослабить контроль) = C(12, 6) * (0.3)^6 * (0.7)^6 = 924 * 0.000729 * 0.117649 = 0.09077
То есть вероятность того, что ровно половина выбранных людей хотят ослабить контроль составляет приблизительно 9.1%.
г) Мы должны определить вероятность того, что ровно по 4 человека выбрали каждое из трех вариантов (усилить контроль, ослабить контроль, сохранить существующее положение вещей).
Для этого мы должны рассмотреть все возможные комбинации выборов. Количество таких комбинаций можно рассчитать с помощью формулы сочетаний C(12, 4).
P(ровно по 4 человека выбрали каждый из трех вариантов) = C(12, 4) * C(8, 4) * C(4, 4) * (0.5)^4 * (0.3)^4 * (0.2)^4 = 495 * 70 * 1 * 0.0625 * 0.0081 * 0.0016 = 0.010992
То есть вероятность того, что ровно по 4 человека выбрали каждый из трех вариантов составляет приблизительно 1.1%.
Надеюсь, ответ был понятен и исчерпывающим. Если у вас возникнут еще вопросы, с удовольствием помогу вам!