В одной координатной плоскости нарисуйте графики функций y = f (x) и y = g (x), когда: f (x) = x² - 4x +3, g (x) = x 3. По рисунку найти решения: 1) уравнения f (x) = g (x); неравенства f (x)> g (x).
минимум 0 - очевидно (x=0, y = 0 и для любых x, y из D x>=0, y>=0).
xy - площадь прямоугольника со сторонами x, y. Значит, нам нужно "вписать" внутрь треугольника прямоугольник максимальной площади. Ясно, что одна из вершин (а конкретнее - точка (x; y)) должна лежать на гипотенузе BC. Найдем уравнение гипотенузы. Уравнение в отрезках x/2+y/3 = 1, откуда y = -3/2*x+3. Заметим, что т.к. (x; y) лежит на этой прямой, то верно равенство xy=-3/2x^2+3x - парабола с ветвями вверх => достигает максимального значения в вершине x0 = -3/(-2*3/2) = 1 =>xy=-3/2+3 = 3/2.
Найдем общее число паролей без каких-либо дополнительных ограничений. Тогда, любая цифра может стоять на любом месте. Цифр для выбора 10, позиций в пароле 4, получаем:
вариантов
1. Рассмотрим первое ограничение: в паролей не может быть трех или четырех одинаковых цифр.
1.1. Найдем число паролей с тремя одинаковыми цифрами. Повторяющуюся цифру мы можем выбрать , оставшуюся уникальную цифру мы модем выбрать , кроме того есть разместить в пароле эту уникальную цифру. Получаем:
вариантов
1.2. Найдем число паролей с четырьмя одинаковыми цифрами. Интуитивно понятно, что имеется:
вариантов
2. Рассмотрим второе ограничение: в пароле не должно быть одновременно цифры 9 и двух цифр 1.
Начнем составлять заведомо неверный пароль. Включаем в него цифры 1, 1, 9 и некоторую цифру Х.
2.0. В качестве Х мы не рассматриваем цифру 1, так как сейчас мы уже рассматриваем пароли, удовлетворяющие первому условию, то есть трех одинаковых цифр в пароле быть не может.
2.1. В качестве цифры Х может быть цифра 9. Тогда, имеется две пары одинаковых цифр. Как-либо упорядочить их в пароле можно (ААВВ, АВАВ, АВВА, ВААВ, ВАВА, ВВАА). В этом случае имеется:
вариантов
2.2. В качестве цифры Х может быть цифра, отличная от 1 и 9. В этом случае у нас есть в 2 раза больше упорядочить эти цифры в пароле, показать эти размещения можно заменив в предыдущем перечислении цифры (В, В) сначала на цифры (C, D), а затем на цифры (D, C). Учитывая, что в качестве цифры Х может быть выбрана одна из 8 цифр, получим:
вариантов
3. Для определения числа правильных паролей из общего числа паролей вычтем все ограничения:
ответ: min(f, D) = 0, max(f, D) = 3/2
Пошаговое объяснение:
минимум 0 - очевидно (x=0, y = 0 и для любых x, y из D x>=0, y>=0).
xy - площадь прямоугольника со сторонами x, y. Значит, нам нужно "вписать" внутрь треугольника прямоугольник максимальной площади. Ясно, что одна из вершин (а конкретнее - точка (x; y)) должна лежать на гипотенузе BC. Найдем уравнение гипотенузы. Уравнение в отрезках x/2+y/3 = 1, откуда y = -3/2*x+3. Заметим, что т.к. (x; y) лежит на этой прямой, то верно равенство xy=-3/2x^2+3x - парабола с ветвями вверх => достигает максимального значения в вершине x0 = -3/(-2*3/2) = 1 =>xy=-3/2+3 = 3/2.
Пароль - последовательность четырех цифр.
Найдем общее число паролей без каких-либо дополнительных ограничений. Тогда, любая цифра может стоять на любом месте. Цифр для выбора 10, позиций в пароле 4, получаем:
1. Рассмотрим первое ограничение: в паролей не может быть трех или четырех одинаковых цифр.
1.1. Найдем число паролей с тремя одинаковыми цифрами. Повторяющуюся цифру мы можем выбрать , оставшуюся уникальную цифру мы модем выбрать , кроме того есть разместить в пароле эту уникальную цифру. Получаем:
1.2. Найдем число паролей с четырьмя одинаковыми цифрами. Интуитивно понятно, что имеется:
2. Рассмотрим второе ограничение: в пароле не должно быть одновременно цифры 9 и двух цифр 1.
Начнем составлять заведомо неверный пароль. Включаем в него цифры 1, 1, 9 и некоторую цифру Х.
2.0. В качестве Х мы не рассматриваем цифру 1, так как сейчас мы уже рассматриваем пароли, удовлетворяющие первому условию, то есть трех одинаковых цифр в пароле быть не может.
2.1. В качестве цифры Х может быть цифра 9. Тогда, имеется две пары одинаковых цифр. Как-либо упорядочить их в пароле можно (ААВВ, АВАВ, АВВА, ВААВ, ВАВА, ВВАА). В этом случае имеется:
2.2. В качестве цифры Х может быть цифра, отличная от 1 и 9. В этом случае у нас есть в 2 раза больше упорядочить эти цифры в пароле, показать эти размещения можно заменив в предыдущем перечислении цифры (В, В) сначала на цифры (C, D), а затем на цифры (D, C). Учитывая, что в качестве цифры Х может быть выбрана одна из 8 цифр, получим:
3. Для определения числа правильных паролей из общего числа паролей вычтем все ограничения:
ответ: 9528 паролей