В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 боковое ребро АА1 наклонено к плоскости основания под углом 30 градусов. В основании лежит прямоугольник. Проекция прямой АА1 на плоскость АВСD совпадает с прямой АС. АА1 = 4 АD = 5, DС = 3. Постройте сечение параллелепипипида плоскостью аа1с1с и найдите его площадь
ответ: да
Пошаговое объяснение:
ฅ^•ﻌ•^ฅ
1. Найдем точку D1:
Из условия АА1 = 4 и AD = 5 следует, что А1D1 = АD - АА1 = 5 - 4 = 1.
Также из условия DС = 3 следует, что С1D1 = СD = 3.
Поскольку точка D1 лежит на оси AD1, то координаты точки D1 имеют вид (x, y, 0).
Так как D1 лежит на отрезке A1C1, то x/a = y/b = 1.
2. Найдем координаты точек A1 и C1:
Из условия проекции прямой АА1 на плоскость АВСD совпадает с прямой АС следует, что точка А1 лежит на прямой АС.
Так как боковое ребро АА1 наклонено к плоскости основания под углом 30 градусов, то угол NBC равен 30 градусов (где N - точка проекции точки A1 на плоскость АВСD, а B - середина АС).
Из подобия треугольников А1NB и АCB получаем следующее соотношение: NB/AB = AC/BC.
Подставляем известные значения и решаем полученное уравнение: NB/(AC/2) = AC/(AB/2).
Получаем NB = (5 * √3)/2 и AB = 2 * NB = 5 * √3.
Из условия бокового ребра АА1 получаем, что AB = √(a^2 + b^2), где a и b - длины сторон прямоугольника в основании параллелепипеда.
Подставляем значения и решаем уравнение: 5 * √3 = √(a^2 + b^2).
Так как из условия DС = 3 следует, что С1D1 = СD = 3, то b = 3.
Подставляем значение b в уравнение и решаем его: (a^2 + 9) = 27/4.
Решаем уравнение и получаем a = 3/2.
Таким образом, координаты точек A1 и C1 имеют вид (-3/4, -√3/4, 0) и (3/4, √3/4, 0) соответственно.
3. Построим плоскость аа1с1с:
Плоскость аа1с1с проходит через точки A1, A и C1, поэтому можем использовать уравнение плоскости в форме AX + BY + CZ + D = 0, где (X, Y, Z) - координаты произвольной точки на плоскости, а (A, B, C) - нормаль плоскости.
Известно, что A1A параллельна плоскости аа1с1с, поэтому можно взять векторовой произведение векторов A1A и A1C1, чтобы получить нормаль плоскости аа1с1с.
A1A = (-3/4 - 0, -√3/4 - 0, 0 - 0) = (-3/4, -√3/4, 0).
A1C1 = (3/4 - (-3/4), √3/4 - (-√3/4), 0 - 0) = (3/2, √3/2, 0).
Тогда нормаль плоскости аа1с1с равна (A, B, C) = (-3/4, -√3/4, 0) x (3/2, √3/2, 0).
Вычислим ее: (-3/4, -√3/4, 0) x (3/2, √3/2, 0) = (0, 0, √3/4).
4. Найдем уравнение плоскости аа1с1с:
Подставляем координаты точки A (0, 0, 0) и нормаль плоскости (0, 0, √3/4) в общее уравнение плоскости AX + BY + CZ + D = 0 и находим D: 0 + 0 + (√3/4)*0 + D = 0. Получаем D = 0.
Таким образом, уравнение плоскости аа1с1с имеет вид √3x/4 = 0, что преобразуется к виду x = 0.
5. Найдем площадь сечения параллелепипеда плоскостью аа1с1с:
Площадь сечения параллелепипеда плоскостью аа1с1с равна площади прямоугольника аа1с1с.
Стороны прямоугольника аа1с1с равны длинам отрезков A1С1 и Са1, найдем их:
A1С1 = √((3/4)^2 + (√3/4)^2) = √(9/16 + 3/16) = √(12/16) = √3/2,
Са1 = √((-3/4)^2 + (-√3/4)^2) = √(9/16 + 3/16) = √(12/16) = √3/2.
Тогда площадь прямоугольника аа1с1с равна S = A1С1 * Са1 = (√3/2) * (√3/2) = 3/2.
Таким образом, площадь сечения параллелепипеда плоскостью аа1с1с равна 3/2.