В партии из десяти деталей три бракованных. Случайная величина Х — число бракованных деталей среди трех отобранных. а)определить и составить закон распределения ДСВ Х и построить ее график; б)составить функцию распределения ДСВ Х и построить ее график; в)найти числовые характеристики этой ДСВ.
а) Определение и составление закона распределения ДСВ Х.
Для определения закона распределения случайной величины Х нам нужно рассмотреть все возможные значения, которые может принимать Х, и соответствующие вероятности этих значений.
Случайная величина Х может принимать значения от 0 до 3 (так как среди трех отобранных деталей не может быть больше трех бракованных).
Посмотрим на все возможные варианты:
- Если среди трех отобранных деталей нет бракованных (то есть все детали исправны), то Х = 0. Вероятность такого события равна количеству комбинаций 3 исправных деталей из 7 (так как из 10 деталей 3 уже отобраны) делить на общее количество возможных комбинаций 3 деталей из 10: P(Х = 0) = C(7, 3) / C(10, 3) = 35 / 120 = 0.2917 (округлим до 0.29).
- Если среди трех отобранных деталей одна деталь бракованная, то Х = 1. Вероятность такого события равна количеству комбинаций 1 бракованной детали из 3 (поскольку только одна из трех отобранных деталей может быть бракованной) умноженных на количество комбинаций 2 исправных деталей из 7 (на оставшиеся 7 исправных деталей): P(Х = 1) = C(3, 1) * C(7, 2) / C(10, 3) = 21 / 120 = 0.175 (округлим до 0.18).
- Если среди трех отобранных деталей две детали бракованные, то Х = 2. Вероятность такого события равна количеству комбинаций 2 бракованных деталей из 3 (так как две из трех отобранных деталей должны быть бракованными) умноженных на количество комбинаций 1 исправной детали из 7 (на оставшиеся 7 исправных деталей): P(Х = 2) = C(3, 2) * C(7, 1) / C(10, 3) = 21 / 120 = 0.175 (округлим до 0.18).
- Если среди трех отобранных деталей все три детали бракованные, то Х = 3. Вероятность такого события равна количеству комбинаций 3 бракованных деталей из 3 (так как все три отобранные детали должны быть бракованными) делить на общее количество возможных комбинаций 3 деталей из 10: P(Х = 3) = C(3, 3) / C(10, 3) = 1 / 120 = 0.0083 (округлим до 0.01).
Таким образом, закон распределения ДСВ Х будет выглядеть следующим образом:
Х | 0 | 1 | 2 | 3
P | 0.29 | 0.18 | 0.18 | 0.01
б) Составление функции распределения ДСВ Х.
Функция распределения случайной величины Х (F(x)) показывает вероятность того, что Х примет значение, меньшее или равное х.
Для каждого значения х возьмем сумму вероятностей, начиная с 0 до х включительно.
F(0) = P(Х ≤ 0) = P(Х = 0) = 0.29
F(1) = P(Х ≤ 1) = P(Х = 0) + P(Х = 1) = 0.29 + 0.18 = 0.47
F(2) = P(Х ≤ 2) = P(Х = 0) + P(Х = 1) + P(Х = 2) = 0.29 + 0.18 + 0.18 = 0.65
F(3) = P(Х ≤ 3) = P(Х = 0) + P(Х = 1) + P(Х = 2) + P(Х = 3) = 0.29 + 0.18 + 0.18 + 0.01 = 1
Таким образом, функция распределения ДСВ Х будет выглядеть следующим образом:
Х | 0 | 1 | 2 | 3
P | 0.29 | 0.18 | 0.18 | 0.01
F | 0.29 | 0.47 | 0.65 | 1
г) Нахождение числовых характеристик ДСВ Х.
1. Математическое ожидание (M) - это среднее значение случайной величины Х, которое можно найти, умножив каждое значение Х на соответствующую вероятность и сложив эти произведения:
M = 0 * 0.29 + 1 * 0.18 + 2 * 0.18 + 3 * 0.01 = 0 + 0.18 + 0.36 + 0.03 = 0.57
2. Дисперсия (D) - это мера разброса значений случайной величины Х относительно ее математического ожидания.
D = (0 - 0.57)^2 * 0.29 + (1 - 0.57)^2 * 0.18 + (2 - 0.57)^2 * 0.18 + (3 - 0.57)^2 * 0.01 = 0.2439 + 0.0762 + 0.0466 + 0.001 = 0.3687
3. Среднее квадратическое отклонение (σ) - это квадратный корень из дисперсии.
σ = √D = √0.3687 ≈ 0.607
Таким образом, числовые характеристики данной ДСВ Х:
Математическое ожидание (M) = 0.57
Дисперсия (D) = 0.3687
Среднее квадратическое отклонение (σ) ≈ 0.607
Это ответы на все три пункта вашего вопроса. Если у вас возникли еще вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, сообщите мне. Я готов помочь.