Войти Регистрация Спроси ai-bota

в прямоугольном треугольнике АВС с прамым углом С проведены бис. AL и высотa CH. Найдите косинус угла ВАС, если НL//AC

Показать ответ

Ответ:

Nastyavoyko

15.10.2020 16:26

Пусть $\angle BAC=\alpha$ , тогда $\angle BAC=\angle BHL=\alpha$ как соответственные.

$\angle CAL=\angle ALH$ как накрест лежащие при $AC \parallel HL$ и секущей . Следовательно, $\triangle AHL$ — равнобедренный, AH=HL .

$\triangle CAH=\triangle HLB$ по катету и острому углу ⇒ AC=HB;~ BL=CH .

Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое между проекциями катетов:

$HL^2=CL\cdot BL$

По свойству биссектрисы : $\dfrac{CL}{BL}=\dfrac{AC}{AB}$ . Тогда

$HL^2=\dfrac{AC\cdot BL^2}{AB}~~\Rightarrow~~ \left(\dfrac{HL}{BL}\right)^2=\dfrac{AC}{AB}~~\Rightarrow~~ {\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{HB}{AH+HB}\\ \\ \\ {\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\frac{AH}{HB}+1}~~\Rightarrow~~{\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\frac{HL}{HB}+1}=\dfrac{1}{\cos \alpha +1}$

Воспользуемся следующими тригонометрическими свойствами

${\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}$

$\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{1}{\cos\alpha+1}~~\Rightarrow~~\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos\alpha}=1~~\Rightarrow~~ \cos^2\alpha+\cos\alpha-1=0$

Последнее уравнение решается как квадратное уравнение относительно $\cos \alpha$ .

D=1+4=5

$\cos \alpha=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$

Значение $\cos \alpha =\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$ — постороннее, поскольку косинус принимает значения от -1 до 1.

ответ: $\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}.$

в прямоугольном треугольнике АВС с прамым углом С проведены бис. AL и высотa CH. Найдите косинус угл

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Асель1139

20.05.2021 10:24

Основание равнобедреного треугольника авс на 4 см меньше боковой стороны. периметр треугольника авс равен 47 см. найдите длину основания треугольника...

polufabrikat17

20.05.2021 10:24

Выражение: sin123°cos33° - cos123°sin33°...

Табалаев

20.05.2021 10:24

Всаду собрали 988кг фруктов. яблок было 37корзин по 8 кг в каждой груш 23 корзины по 7 кг а остальные корзины были со сливами по9 кг.сколько было корзин со сливами?...

stasikpavel

20.05.2021 10:24

Найдите множества всех делителей чисел: 50 и 125, 60 и 90....

009988771

20.05.2021 10:24

Впитомнике было выращено 2500саженцев плодовых деревьев и декоративных кустарников. розы составили 15%, декоративные кустарники - 0,25 всех саженцев, а остальные саженцы плодовых...

кика20052

20.05.2021 10:24

Василию нужно 40 минут,чтоб добраться до стадиона и вернутся домой,если туда он идёт пешком,а возвращается на автобусе.если он едет на автобусе в оба конца,то на весь путь тратит...

samokrut4501

20.05.2021 10:24

Соотнесите с соответствующей точкой координатной прямой .каждой из чисел \/27\/12\/39...

danik2012daniweufyv3

20.05.2021 10:24

Какие выражения не отображают распределительное свойсто умножения относительно вычетания ? 1 ) (а-в)с=а-вс , 2) (а - в )с=ас-вс , 3 а(в-с) = ав-ас 4 а(а-с)= ав - с...

Kira2347

20.05.2021 10:24

Расстояние между двумя 2700км. каким будет это расстояние на карте, если её масштаб равен 1: 100 000 00? ....

12Куки35

20.05.2021 10:24

Периметр треугольника abd равен 12, периметр треугольника bdc - 30 см, а периметр четырёхугольника abcd - 32 см определите длину отрезка bd. объяснить решение...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку