•в шкафу лежат вперемежку 5 пар светлых и 5 пар темных ботинок одинакового размера и фасона. какое наименьшее количество ботинок надо взять наугад из шкафа, чтобы среди них была хоть одна пара (левый и правый) одного цвета? • в классе 35 учеников. можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы? • имеется 5 чемоданов и 5 ключей к ним, но неизвестно какой ключ от какого. сколько проб придется сделать в самом худшем случае, чтобы подобрать к каждому чемодану свой ключ? • в коробке лежат 7 красных и 5 синих карандашей. сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не меньше 2 красных и не меньше 3 синих. • в классе 30 человек. в диктанте витя сделал 12 ошибок, а каждый остальной не больше. докажите, что по крайней мере трое сделали одинаковое количество (может быть ноль) ошибок. • при каком наименьшем количестве учеников школы среди них обязательно найдутся двое, у которых день и месяц рождения совпадает?
2) Пусть в алфавите есть 30 букв (русский алфавит без Ё). Для каждой буквы представим количество учеников, фамилии которых начинаются с этой буквы. Таким образом, у нас получается 30 чисел, сумма которых равна 35 (вся школа). По принципу Дирихле, если мы разделим 35 людей по 30 буквам, обязательно найдется хотя бы одна буква, для которой количество учеников, фамилии которых начинаются с этой буквы, будет больше 1.
3) Переберем все возможные варианты попыток подбора ключей:
- В первой попытке можно проверить 5 ключей на 5 чемоданов.
- Если в первой попытке ни один ключ не подошел, то во второй попытке можно проверить 4 оставшихся ключа на 4 оставшихся чемодана.
- И так далее, в k-ой попытке можно проверить (5 - (k - 1)) ключей на (5 - (k - 1)) чемоданов.
Таким образом, суммарное количество попыток будет равно 5+4+3+2+1=15.
4) Нам нужно взять не меньше двух красных и не меньше трех синих карандашей. Рассмотрим две крайние ситуации: если мы возьмем 2 красных и 3 синих, то среди них точно будут не меньше 2 красных и не меньше 3 синих. Если мы возьмем 1 красный и всех остальных синих (4 синих), то в этом случае у нас будет меньше 2 красных.
Таким образом, минимальное количество карандашей, которое нужно взять, равно 3 красных + 4 синих = 7 карандашей.
5) Предположим, что каждый из 30 человек сделал разное количество ошибок в диктанте от 0 до 11. Тогда сумма всех ошибок будет равна 0 + 1 + 2 + ... + 11 = 66.
Но мы знаем, что у Вити было 12 ошибок. Если сумма ошибок всех остальных 29 человек будет меньше 54 (66-12), то это будет означать, что Витя совершил наибольшее количество ошибок, что противоречит условию.
Если сумма ошибок всех остальных 29 человек равна или больше 54, то как минимум у двух из них количество ошибок будет таким же (так как 54/29 < 2), что и у Вити.
6) Вспомним, что в году 12 месяцев, то есть у каждого ученика в классе может быть ровно 12 возможных дней рождения. Если количество учеников в классе будет равно 13 (по принципу Дирихле), то среди них обязательно найдутся двое, у которых день и месяц рождения совпадает. Таким образом, минимальное количество учеников школы, при котором найдутся двое совпадающих дней и месяцев рождения, равно 13.