В стране ГуРундии 10 городов. Некоторые соединены дорогами, причем каждая дорога соединяет ровно два города. Если два города соединены дорогой, то из одного из них выходит не более двух дорог. Каково наибольшее число дорог в стране?

Начертите треугольник  и на основание опустите высоту. Получите 2 прямоугольных треугольника . у одного углы высчитаете . Это будут 90, 60, 30 . у маленького треугольника Высота есть катет примете за х , а гипотенуза равна 2х (катет лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. У обеих треугольников найдите высоту. h²=4х²-х², у большого h²=14²-(х-6)² приравняем 3х²=196-х²+12х-36 решаем кв. уравнение 
4х²-12х-160=0 разделим на 4
х²-3х-40=0
D=9+160=169 √D=13     х1=(3+13)/2=8    х2=(3-13)/2=-5     х=8 , а значит нужная нам сторона 8*2=16

Если все ответы неверные, то Боря начертил угол 55 градусов, а Костя , Юра и Миша чертили углы 40, 80 и 90 градусов. Если Миша по условию задачи не чертил углы 40 и 80 градусов, то мог только начертить угол 90 градусов. Остается  для Кости и Юры 2 угла 40 и 80 градусов, но по условию задачи Юра сказал неправду, что Костя начертил угол 80 градусов, значит  по правде угол 80 градусов начертил Юра, а Косте остается угол 40 градусов. ответ: Юра начертил угол 80 градусв, Костя-40, Боря-55 и Миша 90 градусов.