В таблице даны результаты забега мальчиков 8 класса на дистанцию 100 метров. Зачёт выставляется при условии, что показан результат не хуже 10,5 с. Укажите номера дорожек, по которым бежали мальчики, получившие зачет.

Дано: 

В треугольнике АВС высоты, проведённые к сторонам АС, ВС и АВ соответственно равны hb=15,ha=35 и hc=21.
Найти: 1) площадь треугольника 
2) сторону АВ 
3) сторону ВС 
4) сторону АС 
5) радиус описанной окружности 
6) радиус вписанной окружности 
7) медиану, проведённую к стороне ВС 
8) биссектрису, проведённую из вершины В.

Используем равенства: 
Отсюда выводим пропорции
То есть, искомый треугольник со сторонами a, b, c подобен треугольнику ВА1С1 со сторонами 
Значение   равно 15*35/21 = 25.

Для треугольника ВА1С1 найдём высоту из вершины В.

Для этого найдём площадь ВА1С1 по Герону:

полупериметр р = (15+35+25)/2 = 75/2 = 37,5.

S(BA1C1) = √(37,5*2,5*22,5*12,5) = √26367,1875 ≈  162,3797632.

Тогда высота в этом треугольнике из вершины В равна:

h'(B) = (2S(BA1C1))/(h(A1C1)) = (2*162,3797632)/35 = 9,278844.

Отсюда находим коэффициент пропорциональности:

к = 15/9,278844 = 1,616581.

Теперь находим искомые длины сторон:

2) сторона АВ (c) = 1,616581*25 = 40,41452,

3) сторона BС (a) = 1,616581*15 =  24,24871,

4) сторона AС (b) = 1,616581*35 = 56,58033,

1) площадь треугольника АВС = (1/2)АС*hb =

= (1/2)*56,58033*15 = 424,35245 кв.ед.

5) радиус описанной окружности R = (abc)/(4S) = 32,66667.

6) радиус вписанной окружности r = S/p = 424,35245/60,62178 = 7.

7) медиану, проведённую к стороне ВС :

ma = (1/2)√(2b²+2c²-a²) = 47,64802.

8) биссектрису, проведённую из вершины В:

βb = (2/(a+c))*√(acp(p-b)) = 15,1554.

Я предлагаю действовать перебором. Числитель не может быть меньше 10 (т.к. двузначный). Если он 10, то после вычитания станет 9, тогда знаменатель должен стать (после удвоения) 99 (чтобы дробь стала быть равной 1/11). Но никакое целое число после удвоения не равно 99, значит 10 в качестве числителя не подходит. Берём 11. После вычитания 1 станет 10. Значит знаменатель станет 110 (опять чтобы получилось 1/11)Чтобы он (знаменатель) стал 110, первоначально он должен быть 55. Т.е. дробь 11/55 нам подходит, т.к. после преобразований она становится 10/110 = 1/11. Рассуждая дальше, найдём ещё такие числа, например 13/66 - тоже подходит, и оно меньше, чем 11/55, дальше 15/77 и оно ещё меньше, 17/88 - следующее и 19/99 - последнее, т.к. дальше пойдут трёхзначные знаменатели. И эта последняя дробь наименьшая из всех. Значит она и есть ответ. И сумма числителя и знаменателя 118