Для доказательства утверждений A) и B) вам потребуется использовать свойства тетраэдра и основные свойства перпендикулярных прямых и плоскостей. Давайте рассмотрим каждое утверждение в отдельности и докажем их:
A) Докажем, что AD ⫺ BC:
У нас дано, что AD ⫺ AC, AD ⫺ AB и DC ⫺ CB. Нам нужно доказать, что AD ⫺ BC. Из определения тетраэдра, каждая сторона тетраэдра пересекает остальные стороны их хвостов. Поэтому, достаточно показать, что BC лежит в плоскости BDA.
Для этого, докажем, что векторное произведение AD и BC равно нулю. Векторное произведение двух векторов равно нулю, если эти векторы коллинеарны.
Найдем векторное произведение AD и BC:
AD = (2, 1, 3)
BC = (1, 1, 4)
AD ⨯ BC = |i j k |
|2 1 3 |
|1 1 4 |
= i(1*4 - 1*3) - j(2*4 - 1*1) + k(2*1 - 2*1)
= i(4 - 3) - j(8 - 1) + k(2 - 2)
= i - j(7) + k(0)
= i - 7j + 0k
= (1, -7, 0)
Как видим, векторное произведение AD и BC (1, -7, 0) равно нулю. Это означает, что векторы AD и BC коллинеарны, то есть BC лежит в плоскости BDA. Следовательно, AD ⫺ BC.
B) Докажем, что прямая BC перпендикулярна плоскости ADC:
Для этого, найдем нормальный вектор плоскости ADC и проверим, что он перпендикулярен вектору BC.
Нормальный вектор плоскости ADC можно найти путем нахождения векторного произведения векторов AD и AC:
AD = (2, 1, 3)
AC = (3, 2, 1)
AD ⨯ AC = |i j k |
|2 1 3 |
|3 2 1 |
= i(1*1 - 2*2) - j(2*1 - 3*3) + k(2*2 - 3*1)
= i(1 - 4) - j(2 - 9) + k(4 - 3)
= i(-3) - j(-7) + k(1)
= (-3, 7, 1)
Теперь, найдем скалярное произведение вектора BC и нормального вектора плоскости ADC:
BC = (1, 1, 4)
(-3, 7, 1) ⋅ (1, 1, 4) = -3*1 + 7*1 + 1*4 = -3 + 7 + 4 = 8
Как видим, скалярное произведение BC и нормального вектора плоскости ADC равно нулю. Это означает, что вектор BC перпендикулярен плоскости ADC.
C) Чтобы найти площадь треугольника BCA, можно воспользоваться формулой площади треугольника, где S - площадь треугольника, a и b - длины сторон треугольника, а θ - угол между ними:
S = 1/2 * a * b * sin(θ)
В нашем случае, a = BC = 4 и b = AC = 3. Осталось только найти угол θ между BC и AC.
Мы уже выяснили, что BC перпендикулярна плоскости ADC. Также из условия известно, что AD ⫺ AC. Это значит, что угол между BC и AC является прямым углом.
Таким образом, sin(θ) = sin(90°) = 1.
Подставив все известные значения в формулу площади треугольника, получаем:
S = 1/2 * 4 * 3 * 1 = 6
Итак, мы доказали, что A) AD ⫺ BC, B) прямая BC перпендикулярна плоскости ADC и C) площадь треугольника BCA равна 6.
