В треугольник, длины сторон которого относятся как m : n : p, вписан круг. Найти отношение, в котором каждая точка касания делит соответствующую сторону треугольника.
Введём следующие обозначения. Обозначим вершины треугольника как A, B, C, причём AB : BC : AC = m : n : p. Обозначим точки касания с AB как M, с BC — N, AC — P, отрезки касательных AM = AP = x, BM = BN = y, CN = CP = z (отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны).
Из отношения AB : BC : AC = m : n : p следует, что AB = mk, BC = nk, AC = pk. Тогда получаем
Вычтем из третьего уравнения второе и запишем его в системе с первым:
Подставим найденный x в третье уравнение и выразим z: .
Пошаговое объяснение:
Введём следующие обозначения. Обозначим вершины треугольника как A, B, C, причём AB : BC : AC = m : n : p. Обозначим точки касания с AB как M, с BC — N, AC — P, отрезки касательных AM = AP = x, BM = BN = y, CN = CP = z (отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны).
Из отношения AB : BC : AC = m : n : p следует, что AB = mk, BC = nk, AC = pk. Тогда получаем![\begin{cases}x+y=mk,\\y+z=nk,\\x+z=pk\end{cases}](/tpl/images/4856/7663/525dc.png)
Вычтем из третьего уравнения второе и запишем его в системе с первым:![\begin{cases}x+y=mk,\\x-y=pk-nk\end{cases}\begin{cases}2x=mk+pk-nk,\\2y=mk-pk+nk\end{cases}\begin{cases}x=\dfrac{m+p-n}{2}k,\\y=\dfrac{m+n-p}{2}k\end{cases}](/tpl/images/4856/7663/970a1.png)
Подставим найденный x в третье уравнение и выразим z:
.
Тогда искомые отношения:![\dfrac{x}{y}=\dfrac{m+p-n}{m+n-p},\dfrac{y}{z}=\dfrac{m+n-p}{n+p-m},\dfrac{z}{x}=\dfrac{n+p-m}{m+p-n}](/tpl/images/4856/7663/4fc2f.png)